每日一题[3663]分组讨论

2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版）#19

已知 $n \in \mathbb{N}^{*}$，存在正整数 $a_1, \cdots a_n$，$b_1, \cdots b_n$ 使

$$S(n)=\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)-\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2=n,$$ 则 $n$ 的所有可能取值为_____．

答案    $3,4$．

解析    当 $n=1$ 时，$LHS=0$，不符合题意． 当 $n\geqslant 2$ 时，根据拉格朗日恒等式，有

$$n=\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}(a_ib_j-a_jb_i)^2=\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}a_i^2a_j^2\left(\dfrac{b_i}{a_i}-\dfrac{b_j}{a_j}\right)^2,$$ 将 $n$ 个数对 $(a_i,b_i)$（$i=1,2,\cdots,n$）形成的比值 $\dfrac{b_i}{a_i}$ 分为 $k$ 组，每组的个数分别为 $x_l$（$l=1,2\cdots,k$），则 $$x_1+x_2+\cdots+x_k=n,$$ 此时任何比值不同的数对的外积平方均不小于 $1$，于是 $$S(n)=\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}a_i^2a_j^2\left(\dfrac{b_i}{a_i}-\dfrac{b_j}{a_j}\right)^2\geqslant \sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}x_ix_j=\dfrac 12\left(\sum_{i=1}^kx_i^2-\sum_{i=1}^kx_i^2\right)=\dfrac 12\left(n^2-\sum_{i=1}^kx_i^2\right),$$ 从而 $$\sum_{i=1}^kx_i^2\geqslant n^2-2n.$$

若 $k=1$，则 $S(n)=0$，不符合题意；

若 $k=2$，则 $x_1+x_2=n$，且

$$S(n)\geqslant x_1x_2\implies n\geqslant x_1x_2\implies (x_1-1)(x_2-1)\leqslant 1\implies (x_1,x_2)=(2,2),$$ 此时 $n=4$，构造 $$a_n:1,2,1,2,\quad b_n:2,3,2,3,$$ 符合题意；

若 $k\geqslant 3$，则 $x_1+x_2+\cdots+x_k=n$，由调整法可得

$$\sum_{i=1}^kx_i^2\leqslant (n-2)^2+1^2+1^2=n^2-4n+6,$$ 于是 $$n^2-4n+6\geqslant n^2-2n\implies n\leqslant 3,$$ 于是 $n=3$，$x_1=x_2=x_3=1$，构造 $$a_n:1,2,1,\quad b_n:3,5,2,$$ 符合题意．

综上所述，$n$ 的所有可能取值为 $3,4$．