每日一题[3662]递推论证

2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版）#18

已知多项式 $f_n(x)$（$n\in\mathbb N$）满足 $f_0(x)=1$，$f_n(0)=0$（$n\geqslant 1$），且 $$f_{n+1}'(x)=(n+1)f_n(x),$$ 则 $f_{100}(2023)$ 的最后 $2$ 位数是_____．

答案    $01$．

解析    $f_n(x)=x^n$，用数学归纳法证明如下．

归纳基础    在 $f_{n+1}'(x)=(n+1)f_n(x)$ 中，取 $n=0$，可得 $$f'_1(x)=f_0(x)=1\implies f_1(x)=x+C,$$ 其中 $C$ 为常数，又 $f_1(0)=0$，因此 $C=0$，于是命题对 $n=0$ 成立．

归纳假设    设命题对 $0,1,\cdots,n$ 成立．

递推证明    则对 $n+1$ 时，有 $$f_{n+1}'(x)=(n+1)x^n\implies f_{n+1}(x)=x^{n+1}+C,$$ 而 $f_{n+1}(0)=0$，因此 $C=0$，于是命题对 $n+1$ 成立．

综上所述，$f_n(x)=x^n$，于是 $$f_{100}(2023)=2023^{100}=(2020+3)^{100}\equiv 3^{100}=9^{50}=(10-1)^{50}\equiv 1\pmod {100}.$$