每日一题[3656]连续统假设

2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版） #12

下列命题正确的是（       ）

A．不存在自然数集合到有理数集合的双射

B．不存在有理数集合到实数集合的双射

C．不存在实数集合到整数集合的双射

D．以上命题均不正确

答案    BC．

解析    容易证明，若存在集合 $A$ 到 $B$ 的双射，则存在集合 $X$ 到 $A$ 的双射的充分必要条件为存在集合 $X$ 到 $B$ 的双射．此外存在自然数集合到集合 $X$ 的双射等价于可以将集合 $X$ 中的元素排成不重不漏的数列．

对于选项 $\boxed{A}$，考虑所有正有理数 $\dfrac pq$（$p,q$ 是互质的正整数），则按 $p+q$ 以及 $p$ 的大小将其排列为

$$\dfrac 11,\underbrace{\dfrac 12,\dfrac 21},\underbrace{\dfrac 13,\not{\dfrac 22},\dfrac 31},\underbrace{\dfrac 14,\dfrac 23,\dfrac 32,\dfrac 41},\cdots,$$ 考虑所有整数按其绝对值的大小以及正负将其排列为 $$0,-1,1,-2,2,\cdots,$$ 这样就得到了 $\mathbb Q^+$ 到 $\mathbb N$ 以及 $\mathbb Z$ 到 $\mathbb N$ 的双射，因此存在 $\mathbb N$ 到 $\mathbb Q$ 的双射，选项错误；

选项 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$，若存在 $\mathbb R$ 到 $\mathbb N$ 的双射，设 $\bigcup_{n=1}^{+\infty}x_n=\mathbb R$，可以取一系列区间 $D_n=[a_n,b_n]$，满足： ① $x_n\notin D_n$； ② $D_{n+1}\subset D_n$ 且 $|D_{n+1}|\leqslant \dfrac 12|D_n|$； 此时当 $n\to +\infty$ 时，根据柯西收敛准则，数列 $a_n$ 和 $b_n$ 收敛于同一点 $m$，而该实数 $m\notin \bigcup_{n=1}^{+\infty}x_n$，矛盾．又存在 $\mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb N$ 之间的双射，因此选项 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ 均错误．

综上所述，正确的命题有 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$．