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2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版） #4

$2023$ 支球队进行循环赛（任意 $2$ 队均进行一场比赛），胜队得 $3$ 分，负队得 $0$ 分，平局各加 $1$ 分，赛后各队总分构成公差为 $1$ 的等差数列，则最后一名得分的最大值为_____．

答案    $2021$．

解析    考虑一般的情形，设 $n$ 支球队进行循环赛，赛后各队总分构成公差为 $1$ 的等差数列 $k,k+1,\cdots,k+n-1$．如果所有比赛均不为平局，则所有球队的得分均为 $3$ 的倍数，矛盾，因此比赛存在平均，进而总得分不超过比赛场次的 $3$ 倍，即 $$k+(k+1)+\cdots+(k+n-1)<\dbinom n2\cdot 3\implies \dfrac{n(2k+n-1)}2<\dfrac{3n(n-1)}3\implies k\leqslant n-2,$$ 接下来证明当 $n\geqslant 4$ 时，等号均可取到．用数学归纳法，证明球队 $A_i$ 得分为 $i$，其中 $i=n-2,n-1,\cdots,2n-3$．

归纳基础    当 $n=4$ 时，取 $A_5$ 战胜 $A_4$，$A_4$ 战胜 $A_2$，则 $$\begin{array}{c|c|c|c|c}\hline \text{球队}&A_2&A_3&A_4&A_5\\ \hline \text{胜场}&&&1&1 \\ \hline \text{平场}&2&3&1&2 \\ \hline \text{负场}&1&&1& \\ \hline \text{得分}&2&3&4&5\\ \hline \end{array}$$

归纳假设    当 $n=m$ 时，球队 $A_i$ 的得分为 $m$，其中 $i=m-2,m-1,\cdots,2m-3$．

递推证明    按 $m$ 模 $3$ 的余数分类．

情形一     $m=3p+1$（$p\in\mathbb N^{\ast}$），原本得分为 $$3p-1,\underbrace{3p,3p+1,3p+2},\cdots,\underbrace{6p-3,6p-2,6p-1},$$ 新加入的球队后得分调整为 $$(3p-1)+0,\underbrace{(3p)+3,(3p+1)+0,(3p+2)+0},\cdots,\underbrace{(6p-3)+3,(6p-2)+0,(6p-1)+0},$$ 新加入的球队得分为 $6p+1$，符合要求．

情形二     $m=3p+2$（$p\in\mathbb N^{\ast}$），原本得分为 $$\underbrace{3p,3p+1,3p+2},\cdots,\underbrace{6p-3,6p-2,6p-1},6p,6p+1,$$ 新加入的球队后得分调整为 $$\underbrace{(3p)+3,(3p+1)+0,(3p+2)+0},\cdots,\underbrace{(6p-3)+3,(6p-2)+0,(6p-1)+0},(6p)+3,(6p+1)+1,$$ 新加入的球队得分为 $6p+1$，符合要求．

情形三     $m=3p+3$（$p\in\mathbb N^{\ast}$），原本得分为 $$3p+1,\underbrace{3p+2,3p+3,3p+4},\cdots,\underbrace{6p-1,6p,6p+1},6p+2,6p+3,$$ 新加入的球队后得分调整为 $$(3p+1)+1,\underbrace{(3p+2)+3,(3p+3)+0,(3p+4)+0},\cdots,\underbrace{(6p-1)+3,(6p)+0,(6p+1)+0},(6p+2)+3,(6p+3)+0,$$ 新加入的球队得分为 $6p+4$，符合要求．

综上所述，最后一名得分的最大值为 $n-2$，当 $n=2023$ 时，所求最大值为 $2021$．