2025年八省高考适应性模拟演练数学 #17
已知函数 $f(x)=a \ln x+\dfrac{b}{x}-x$．
1、设 $a=1$，$b=-2$，求曲线 $y=f(x)$ 的斜率为 $ 2$ 的切线方程；
2、若 $x=1$ 是 $f(x)$ 的极小值点，求 $b$ 的取值范围．
解析
1、当 $a=1$，$b=-2$ 时，$f(x)=\ln x-\dfrac 2x-x$，此时 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{2}{x^2}+\dfrac 1x-1.\]设切线对应的切点横坐标为 $t$，则\[f'(t)=2\iff t=1,\]所以 $f(t)=-3$，所求切线方程为 $y=2(x-1)-3$，也即 $y=2x-5$．．
2、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{-x^2+ax-b}x,\]根据题意，关于 $x$ 的二次方程 $-x^2+ax-b=0$ 有两个实数解，且较小的实数解为 $1$，也即\[ \begin{cases} -1+a-b=0,\\ \dfrac a2>1,\end{cases}\iff \begin{cases} b=a-1,\\ a>2,\end{cases}\]于是 $b$ 的取值范围是 $\{a-1\}$，其中 $a>2$．