每日一题[3644]极值点分布

2025年八省高考适应性模拟演练数学 #17

已知函数 $f(x)=a \ln x+\dfrac{b}{x}-x$．

1、设 $a=1$，$b=-2$，求曲线 $y=f(x)$ 的斜率为 $2$ 的切线方程；

2、若 $x=1$ 是 $f(x)$ 的极小值点，求 $b$ 的取值范围．

解析

1、当 $a=1$，$b=-2$ 时，$f(x)=\ln x-\dfrac 2x-x$，此时 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\dfrac{2}{x^2}+\dfrac 1x-1.$$ 设切线对应的切点横坐标为 $t$，则 $$f'(t)=2\iff t=1,$$ 所以 $f(t)=-3$，所求切线方程为 $y=2(x-1)-3$，也即 $y=2x-5$．．

2、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\dfrac{-x^2+ax-b}x,$$ 根据题意，关于 $x$ 的二次方程 $-x^2+ax-b=0$ 有两个实数解，且较小的实数解为 $1$，也即 $$\begin{cases} -1+a-b=0,\\ \dfrac a2>1,\end{cases}\iff \begin{cases} b=a-1,\\ a>2,\end{cases}$$ 于是 $b$ 的取值范围是 $\{a-1\}$，其中 $a>2$．