2025年八省高考适应性模拟演练数学 #18
已知椭圆 $C$ 的离心率为 $\dfrac{1}{2}$，左、右焦点分别为 $F_1(-1,0), F_2(1,0)$．
1、求 $C$ 的方程；
2、已知点 $M_0(1,4)$，证明：线段 $F_1 M_0$ 的垂直平分线与 $C$ 恰有一个公共点；
3、设 $M$ 是坐标平面上的动点，且线段 $F_1 M$ 的垂直平分线与 $C$ 恰有一个公共点，证明 $M$ 的轨迹为圆，并求该圆的方程．
解析
1、椭圆 $C$ 的半焦距为 $1$，长半轴长为 $2$，因此 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$．
2、记线段 $F_1M_0$ 的垂直平分线为 $l$，$T$ 是直线 $l$ 上一点，则\[|TF_1|+|TF_2|=|TM_0|+|TF_2|,\]当 $T$ 在线段 $F_2M_0$ 上时，有 $|TM_0|+|TF_2|=|M_0F_2|=4$，于是 $T$ 同时在椭圆 $C$ 上；当 $T$ 不在线段 $F_2M_0$ 上时，有 $|TM_0|+|TF_2|>|M_0F_2|=4$，于是 $T$ 在椭圆 $C$ 外；因此直线 $l$ 上有且仅有一点在椭圆 $C$ 上（即与线段 $F_2M_0$ 的交点），命题得证．
3、根据第 $(2)$ 小题的结果，$M$ 的轨迹是以 $F_2$ 为圆心，$4$ 为半径的圆 $(x-1)^2+y^2=16$．