2025年八省高考适应性模拟演练数学 #18
已知椭圆 C 的离心率为 12,左、右焦点分别为 F1(−1,0),F2(1,0).
1、求 C 的方程;
2、已知点 M0(1,4),证明:线段 F1M0 的垂直平分线与 C 恰有一个公共点;
3、设 M 是坐标平面上的动点,且线段 F1M 的垂直平分线与 C 恰有一个公共点,证明 M 的轨迹为圆,并求该圆的方程.
解析
1、椭圆 C 的半焦距为 1,长半轴长为 2,因此 C 的方程为 x24+y23=1.
2、记线段 F1M0 的垂直平分线为 l,T 是直线 l 上一点,则|TF1|+|TF2|=|TM0|+|TF2|,
当 T 在线段 F2M0 上时,有 |TM0|+|TF2|=|M0F2|=4,于是 T 同时在椭圆 C 上;当 T 不在线段 F2M0 上时,有 |TM0|+|TF2|>|M0F2|=4,于是 T 在椭圆 C 外;因此直线 l 上有且仅有一点在椭圆 C 上(即与线段 F2M0 的交点),命题得证.
3、根据第 (2) 小题的结果,M 的轨迹是以 F2 为圆心,4 为半径的圆 (x−1)2+y2=16.