每日一题[3637]忽略不重要的细节

已知函数 $f(x)=\mathrm e^{x-a}+ax^2-3ax+1$，$a\in\mathbb R$．

1、当 $a=1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线方程；

2、当 $a>1$ 时，试判断 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上零点的个数，并说明理由；

3、当 $x\geqslant 0$ 时，$f(x)\geqslant 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\mathrm e^{x-a}+2ax-3a,$$ 当 $a=1$ 时，有 $f(1)=0$，$f'(1)=0$，于是所求切线方程为 $y=0$．

2、当 $a>1$ 时，有 $$f(1)=\mathrm e^{1-a}-2a+1<\left(\mathrm e^{1-a}-2a+1\right)\Big|_{a=1}=0,$$ 而 $f'(x)$ 在区间 $[1,+\infty)$ 上单调递增，于是 $f(x)$ 在区间 $[1,+\infty)$ 上或者单调递增，或者先递减再递增，考虑到 $$f(a+3)=\mathrm e^3+a(a+3)^2-3a(a+3)+1>0,$$ 因此函数 $f(x)$ 在区间 $[1,+\infty)$ 上零点个数为 $1$．

3、根据第 $(2)$ 小题的结论，有 $a\leqslant 1$．由于 $f(0)=\mathrm e^{-a}+1>0$，当 $a\leqslant 0$ 时有 $$f'(0)=\mathrm e^{-a}-3a>0,$$ 而 $f'(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上单调递增，因此 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上单调递增，符合题意． 接下来考虑 $0<a\leqslant 1$ 的情形，此时 $$f''(x)=\mathrm e^{x-a}+2a>0,$$ 于是 $f'(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上单调递增，因此 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上或者单调递增，或者先递减后递增．若为前者，则符合题意；若为后者，此时关于 $x$ 的方程 $$\mathrm e^{x-a}+2ax-3a=0$$ 有唯一实数解，记为 $t$，其中 $t\in (0,1]$，只需要满足 $f(t)\geqslant 0$．此时 $$f(t)=\mathrm e^{t-a}+at^2-3at+1=(-2at+3a)+at^2-3at+1=a(t^2-5t+3)+1\geqslant 0,$$ 符合题意．

综上所述，$a$ 的取值范围是 $(-\infty,1]$．

备注    考虑 $g(x,a)=\mathrm e^{x-a}+ax^2-3ax+1$，则 $$g'_a(x,a)=-\mathrm e^{x-a}+x^2-3x,$$ 设右侧函数为 $h(x)$，则当 $a\leqslant 1$ 且 $x\geqslant 0$ 时，有 $$h'(x)=-\mathrm e^{x-a}+2x-3\leqslant -\mathrm e^{x-1}+2x-3,$$ 设右侧函数为 $r(x)$，则 $$r'(x)=-\mathrm e^x+2,$$ 于是 $r(x)$ 的极大值亦为最大值是 $$r(\ln 2)=-\dfrac{2}{\mathrm e}+2\ln 2-3<0,$$ 这样就有 $g(x,a)$ 是关于 $a$ 的单调递减函数，从而当 $a\leqslant 1$ 时，有 $$g(x,a)\geqslant g(x,1),$$ 结合第 $(2)$ 小题的结论，实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,1]$．