已知函数 $f(x)=\mathrm e^{x-a}+ax^2-3ax+1$，$a\in\mathbb R$．
1、当 $a=1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线方程；
2、当 $a>1$ 时，试判断 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上零点的个数，并说明理由；
3、当 $x\geqslant 0$ 时，$f(x)\geqslant 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．
解析
1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\mathrm e^{x-a}+2ax-3a,\]当 $a=1$ 时，有 $f(1)=0$，$f'(1)=0$，于是所求切线方程为 $y=0$．
2、当 $a>1$ 时，有\[f(1)=\mathrm e^{1-a}-2a+1<\left(\mathrm e^{1-a}-2a+1\right)\Big|_{a=1}=0,\]而 $f'(x)$ 在区间 $[1,+\infty)$ 上单调递增，于是 $f(x)$ 在区间 $[1,+\infty)$ 上或者单调递增，或者先递减再递增，考虑到\[f(a+3)=\mathrm e^3+a(a+3)^2-3a(a+3)+1>0,\]因此函数 $f(x)$ 在区间 $[1,+\infty)$ 上零点个数为 $1$．
3、根据第 $(2)$ 小题的结论，有 $a\leqslant 1$．由于 $f(0)=\mathrm e^{-a}+1>0$，当 $a\leqslant 0$ 时有\[f'(0)=\mathrm e^{-a}-3a>0,\]而 $f'(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上单调递增，因此 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上单调递增，符合题意． 接下来考虑 $0<a\leqslant 1$ 的情形，此时\[f''(x)=\mathrm e^{x-a}+2a>0,\]于是 $f'(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上单调递增，因此 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上或者单调递增，或者先递减后递增．若为前者，则符合题意；若为后者，此时关于 $x$ 的方程\[\mathrm e^{x-a}+2ax-3a=0\]有唯一实数解，记为 $t$，其中 $t\in (0,1]$，只需要满足 $f(t)\geqslant 0$．此时\[f(t)=\mathrm e^{t-a}+at^2-3at+1=(-2at+3a)+at^2-3at+1=a(t^2-5t+3)+1\geqslant 0,\]符合题意．
综上所述，$a$ 的取值范围是 $(-\infty,1]$．
备注 考虑 $g(x,a)=\mathrm e^{x-a}+ax^2-3ax+1$，则\[g'_a(x,a)=-\mathrm e^{x-a}+x^2-3x,\]设右侧函数为 $h(x)$，则当 $a\leqslant 1$ 且 $x\geqslant 0$ 时，有\[h'(x)=-\mathrm e^{x-a}+2x-3\leqslant -\mathrm e^{x-1}+2x-3,\]设右侧函数为 $r(x)$，则\[r'(x)=-\mathrm e^x+2,\]于是 $r(x)$ 的极大值亦为最大值是\[r(\ln 2)=-\dfrac{2}{\mathrm e}+2\ln 2-3<0,\]这样就有 $g(x,a)$ 是关于 $a$ 的单调递减函数，从而当 $a\leqslant 1$ 时，有\[g(x,a)\geqslant g(x,1),\]结合第 $(2)$ 小题的结论，实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,1]$．