每日一题[3623]临界点在哪里？

2024年10月广东深圳宝安中学高三数学测试 #10

有一组样本数据 $0,1,2,3,4$，随机添加一个数 $X$ 形成一组新的数据，且概率 $P(X=k)=\dfrac1{32}{\dbinom 5k}$（$k\in\{0,1,2,3,4,5\}$），则新的样本数据（       ）

A．第 $25$ 百分位数不变的概率是 $\dfrac 3{16}$

B．极差不变的概率是 $\dfrac{31}{32}$

C．平均值变大的概率是 $\dfrac 1 2$

D．方差变大的概率是 $\dfrac 7{32}$

答案    BCD．

解析    根据题意，有 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}\hline k&0&1&2&3&4&5\\ \hline P&\dfrac{1}{32}&\dfrac{5}{32}&\dfrac{10}{32}&\dfrac{10}{32}&\dfrac{5}{32}&\dfrac{1}{32}\\ \hline\end{array}$$

对于选项 $\boxed{A}$，第 $25$ 百分位数均为第 $2$ 个数，因此当 $X=1,2,3,4,5$ 时符合题意，概率为 $\dfrac{3}{16}$，选项错误；

对于选项 $\boxed{B}$，极差不变为 $4$，因此当 $X=0,1,2,3,4$ 时符合题意，概率为 $\dfrac{31}{32}$，选项正确；

对于选项 $\boxed{C}$，平均值从 $2$ 变大，因此当 $X=3,4,5$ 时符合题意，概率为 $\dfrac 12$，选项正确；

对于选项 $\boxed{D}$，方差从 $2$ 变大，考虑到对称性只需要验算 $X=3,4,5$ 的情形，对应方差分别为 $\dfrac {65}{36},\dfrac{20}9,\dfrac{35}{12}$，因此当 $X=0,4,5$ 时符合题意，概率为 $\dfrac7{32}$，选项正确；

综上所述，正确的选项是 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．

备注    

考虑数据 $1,2,\cdots,n$ 的方差为 $\dfrac{n^2-1}{12}$，而 $1,2,\cdots,n,m$（$m\geqslant \dfrac n2$）的方差为 $$\dfrac{n^2}{12}+n\left(\dfrac 16+\dfrac{m(m-n-1)}{(n+1)^2}\right),$$ 令二者相等，可得 $$12n\cdot m^2-12n(n+1)\cdot m+2n^3+5n^2+4n+1=0,$$ 解得 $$m =\left(\dfrac 12+\dfrac{\sqrt 3}6\cdot \sqrt{\dfrac{n-1}n}\right)\cdot (n+1),$$ 特别的，当 $n$ 很大时，有 $$m\approx \left(\dfrac 12+\dfrac{\sqrt 3}6\right)\cdot (n+1)=(n+1)\cdot 0.78867\cdots .$$