每日一题[3620]稳如泰山

2024年10月广东深圳宝安中学高三数学测试 #7

设 $\left\{a_n\right\}$ 为等比数列，则对于任意的 $n\in ~\mathbb N^{\ast}$，均有 $a_{n+2}<a_n$ 是 $\left\{a_n\right\}$ 为递减数列的（       ）

 A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案    C．

解析    必要性显然．接下来证明充分性．若对于任意的 $n\in ~\mathbb N^{\ast}$，均有 $a_{n+2}<a_n$，设 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$，则 $$\forall n\in\mathbb N^{\ast},~a_1q^{n+1}<a_1q^{n-1},$$ 即 $$\forall n\in\mathbb N^{\ast},~a_1q^{n-1}(q^2-1)<0,$$ 由于无论 $n$ 取奇数还是偶数，均有 $f(a_1,q)=a_1q^{n-1}(q^2-1)$ 符号不变，因此 $q>0$，进而有 $$\begin{cases} a_1>0,\\ 0<q<1,\end{cases}~\text{或}~\begin{cases} a_1<0,\\ q>1,\end{cases}$$ 此时均有 $a_n=a_1q^{n-1}$ 是递减数列，充分性得证．