每日一题[3619]阅读理解

2024年9月雅礼中学高三月考数学试卷 #19

如图,点 Z(a,b),复数 z=a+bia,bR)可用点 Z(a,b) 表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴.显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯豦数.按照这种表示方法,每一个复数,有复平面内唯一的一个点和它对应,反过来,复平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应.一般地,任何一个复数 z=a+bi 都可以表示成 r(cosθ+isinθ) 的形式,即 {a=rcosθ,b=rsinθ, 其中 r 为复数 z 模,θ 叫做复数 z 的辐角(以 x 非负半轴为始边,OZ 所在射线为终边的角),我们规定 0θ<2π 范围内的辐角 θ 的值为辐角的主值,记作 argzr(cosθ+isinθ) 叫做复数 z=a+bi 的三角形式,并给出复数三角形式的乘法公式:r1(cosθ1+isinθ1)r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)),棣莫佛提出了公式:(r(cosθ+isinθ))n=rn(cosnθ+isinnθ),其中 r>0nN

1、已知 z=12+32i,w=22+22i,求 zw+zw3 的三角形式;

2、已知 θ0 为定值,0θ0π,将复数 1+cosθ0+isinθ0 化为三角形式;

3、设复平面上单位圆内接正二十边形的 20 个顶点对应的复数依次为 z1,z2,,z20,求复数 z20241,z20242,,z202420 所对应不同点的个数.

解析

1、根据题意,有zw+zw3=zw(1+w2)=(12+32i)(22+22i)(1+i)=2(32+12i)=2(cos5π6+isin5π6).

2、根据题意,有1+cosθ0+isinθ0=2cos2θ02+2isinθ02cosθ02=2cosθ02(cosθ02+isinθ02).

3、正二十边形每边所对的中心角为 2π20,设 z1=cosθ+isinθθ 为常数), 则zk=(cosθ+isinθ)(cos2(k1)π20+isin2(k1)π20),k=1,2,,20,所以z2024k=(cos2024θ+isin2024θ)(cos20242(k1)π20+isin20242(k1)π20)=(cos2024θ+isin2024θ)(cos20242π20+isin20242π20)k1=(cos2024θ+isin2024θ)(cos2π5+isin2π5)k1,由周期性可知,z2024k 共有 5 个不同的值,故复数 z20241,z20242,,z202420 所对应不同点的个数为 5

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表回复