2024年9月雅礼中学高三月考数学试卷 #19
如图,点 Z(a,b),复数 z=a+bi(a,b∈R)可用点 Z(a,b) 表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴.显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯豦数.按照这种表示方法,每一个复数,有复平面内唯一的一个点和它对应,反过来,复平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应.一般地,任何一个复数 z=a+bi 都可以表示成 r(cosθ+isinθ) 的形式,即 {a=rcosθ,b=rsinθ, 其中 r 为复数 z 模,θ 叫做复数 z 的辐角(以 x 非负半轴为始边,→OZ 所在射线为终边的角),我们规定 0⩽θ<2π 范围内的辐角 θ 的值为辐角的主值,记作 argz.r(cosθ+isinθ) 叫做复数 z=a+bi 的三角形式,并给出复数三角形式的乘法公式:r1(cosθ1+isinθ1)⋅r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)),棣莫佛提出了公式:(r(cosθ+isinθ))n=rn(cosnθ+isinnθ),其中 r>0,n∈N∗.
1、已知 z=12+√32i,w=√22+√22i,求 zw+zw3 的三角形式;
2、已知 θ0 为定值,0⩽θ0⩽π,将复数 1+cosθ0+isinθ0 化为三角形式;
3、设复平面上单位圆内接正二十边形的 20 个顶点对应的复数依次为 z1,z2,⋯,z20,求复数 z20241,z20242,⋯,z202420 所对应不同点的个数.
解析
1、根据题意,有zw+zw3=zw(1+w2)=(12+√32i)(√22+√22i)(1+i)=√2(−√32+12i)=√2(cos5π6+isin5π6).
2、根据题意,有1+cosθ0+isinθ0=2cos2θ02+2isinθ02cosθ02=2cosθ02(cosθ02+isinθ02).
3、正二十边形每边所对的中心角为 2π20,设 z1=cosθ+isinθ(θ 为常数), 则zk=(cosθ+isinθ)(cos2(k−1)π20+isin2(k−1)π20),k=1,2,⋯,20,所以z2024k=(cos2024θ+isin2024θ)(cos2024⋅2(k−1)π20+isin2024⋅2(k−1)π20)=(cos2024θ+isin2024θ)(cos2024⋅2π20+isin2024⋅2π20)k−1=(cos2024θ+isin2024θ)(cos2π5+isin2π5)k−1,由周期性可知,z2024k 共有 5 个不同的值,故复数 z20241,z20242,⋯,z202420 所对应不同点的个数为 5.