2024年10月北京人大附中高三月考数学试卷 #20
已知函数 $f(x)=\mathrm e^x\left(x^2+x\right)$，记其在点 $(a,f(a))$ 处的切线方程为：$y=g_a(x)$．定义关于 $x$ 的函数 $F_a(x)=f(x)-g_a(x)$．
1、求 $g_1(x)$ 的解析式；
2、当 $a>0$ 时，判断函数 $F_a(x)$ 的单调性并说明理由；
3、若 $a$ 满足当 $x\neq a$ 时，总有 $\dfrac{f(x)-g_a(x)}{x-a}>0$ 成立，则称实数 $a$ 为函数 $f(x)$ 的一个 $Q$ 点，求 $f(x)$ 的所有 $Q$ 点．
解析
1、函数 $f(x)=\mathrm e^x\left(x^2+x\right)$ 的导函数\[f^{\prime}(x)=\mathrm e^x\left(x^2+x\right)+\mathrm e^x(2 x+1)=\mathrm e^x\left(x^2+3 x+1\right),\]当 $a=1$ 时，$f(1)=2\mathrm e$，$f^{\prime}(1)=5\mathrm e$，故 $f(x)$ 在 $(1,2\mathrm e)$ 处的切线方程为\[y-2\mathrm e=5\mathrm e(x-1)\implies g_1(x)=5\mathrm e x-3\mathrm e.\]
2、根据第 $(1)$ 小题的结果，有\[\begin{split} F_a(x)&=f(x)-g_a(x)\\ &=f(x)-f'(a)\cdot (x-a)-f(a)\\ &=\mathrm e^x(x^2+x)-\mathrm e^a(a^2+a)-\mathrm e^a(a^2+3a+1)\cdot (x-a) \\ &=\mathrm e^x(x^2+x)-\mathrm e^a(a^2+3a+1)x-\mathrm e^a(a^2+a)+\mathrm e^a(a^2+3a+1)\cdot a ,\end{split}\] 函数 $F_a(x)$ 的导函数\[F_a'(x)=\mathrm e^x(x^2+3x+1)-\mathrm e^a(a^2+3a+1),\]有 $F_a'(a)=0$，其二阶导函数\[F_a''(x)=\mathrm e^x(x+4)(x+1),\]因此 $F_a'(x)$ 在 $x=-4$ 处取得极大值，而\[F_a'(-4)<F_a'(0)<F_a'(a)=0,\]因此函数 $F_a(x)$ 在 $(-\infty,a)$ 上单调递减，在 $(a,+\infty)$ 上单调递增．
3、当 $x\neq a$ 时，总有 $\dfrac{f(x)-g_a(x)}{x-a}>0$ 成立，故 $F_a(x)$ 与 $x-a$ 同号，即当 $x<a$ 时，$F_a(x)<0$，当 $x>a$ 时，$F_a(x)>0$，又\[F_a(a)=\mathrm e^a\left(a^2+a\right)-\mathrm e^a\left(a^3+3 a^2+a-a^3-2 a^2\right)=0,\]即 $F_a(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增，即 $F_a^{\prime}(x)\geqslant 0$ 恒成立，因此由第 $(2)$ 小题的结果知：$h(a)=0$，即 $F_a^{\prime}(a)=0$，故\[\begin{cases} \forall x>a,\mathrm e^x(2 x+3)+\mathrm e^a\left(a^2+3 a+1\right)\geqslant 0,\\ \forall x<a,\mathrm e^x(2 x+3)+\mathrm e^a\left(a^2+3 a+1\right)\leqslant0,\end{cases}\]解得 $a=-4$ 或 $a=-1$.