每日一题[3611]葫芦曲线

2024年10月北京人大附中高三月考数学试卷 #9

音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为葫芦曲线．它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次．如图所示，某一条葫芦曲线的方程为 $$|y|=\left(2-\dfrac 1 2\left[\dfrac{2 x}{\pi}\right]\right)|\sin\omega x|,x\geqslant 0,$$ 其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．若该条曲线还满足 $\omega\in(1,3)$，经过点 $M\left(\dfrac 3 4\pi,\dfrac 3 2\right)$，则该条葫芦曲线与直线 $x=\dfrac 7 6\pi$ 交点的纵坐标为（       ）

A．$\pm\dfrac 1 2$

B．$\pm\dfrac{\sqrt 2}2$

C．$\pm\dfrac{\sqrt 3}2$

D．$\pm 1$

答案    C．

解析    将点 $M\left(\dfrac 3 4\pi,\dfrac 3 2\right)$ 代入葫芦曲线的方程可得 $$\left(2-\dfrac 1 2\left[\dfrac 3 2\right]\right)\left|\sin\dfrac{3\pi}4\omega\right|=\dfrac 3 2\iff \left|\sin\dfrac{3\pi}4\omega\right|=1,$$ 由 $\omega\in(1,3)$ 可得 $\omega=2$，因此曲线方程为 $$|y|=\left(2-\dfrac 1 2\left[\dfrac{2 x}{\pi}\right]\right)|\sin 2 x|,$$ 当 $x=\dfrac 7 6\pi$ 时，可得 $$|y|=\left(2-\dfrac 1 2\left[\dfrac{2\times\dfrac 7 6\pi}{\pi}\right]\right)\left |\sin\left( 2\cdot\frac 7 6\pi\right)\right|=\left(2-\dfrac 1 2\left[\dfrac 7 3\right]\right)\left|\sin\dfrac 7 3\pi\right|=\left|\sin\dfrac{\pi}3\right|=\dfrac{\sqrt 3}2,$$ 所以交点的纵坐标为 $\pm\dfrac{\sqrt 3}2$．