每日一题[3609]定值与最值

2024年10月天域全国名校协作体高三数学联考 #18

已知椭圆 C: x2a2+y2b2=1a>b>0)的右焦点为 F,点 M(1,83)C 上,且 MFx 轴,过点 M 且与椭圆 C 有且只有一个公共点的直线与 x 轴交于点 P

1、求椭圆 C 的方程;

2、点 R 是椭圆 C 上异于 M 的一点,且三角形 MPR 的面积为 24,求直线 MR 的方程;

3、过点 P 的直线交椭圆 CD,E 两点 (DE 的左侧),若 N 为线段 FP 的中点,直线 NE 交直线 MF 于点 QT 为线段 DF 的中点,求线段 TQ 的最大值.

解析

1、根据 MFx 轴可得 F(1,0) 进而椭圆的半焦距 c=1,椭圆 C 的半通径长 b2a=83,从而所求椭圆 C 的方程为 x29+y28=1

2、椭圆 C 在点 M 处的切线 PM 方程为1x9+83y8=1x+3y9=0,于是 P(9,0),设 R(x0,y0),则 MPR 的面积[MPR]=12d(R,PM)|PM|=12|x0+3y09|101+(13)2|19|=4|x0+3y09|3,因此由三角形 MPR 的面积为 24 可得|x0+3y09|=18(x0+3y09)=18x0+3y0+9=0,从而 RM 关于 O 的对称点,直线 MR 的方程为 y=83x

3、设 D(x1,y1)E(x2,y2)DP=λPE,根据定比点差法,有{x1+λx21+λ=9,y1+λy21+λ=0,{λx2=9+9λx1,λy2=y1,{8x21+9y21=72,8(λx2)2+9(λy2)2=72λ2,8x1+λx21+λx1λx21λ+9y1+λy21+λy1λy21λ=72,代入可得5λ+λx2=4,P(9,0)F(1,0)N(5,0)E(x2,y2),则直线 NE 的方程为y0=y2x25(x5),MFx 轴,直线 NEMF 交于 Q,则 Q 点横坐标为 1,其纵坐标yQ=4y25x2=λy2=y1,因此 DQy 轴,从而TQ=12DF12(a+c)=2,等号当 D 位于椭圆的左顶点时取得,因此线段 TQ 的最大值为 2

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