2024年10月天域全国名校协作体高三数学联考 #18
已知椭圆 C: x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为 F,点 M(1,83) 在 C 上,且 MF⊥x 轴,过点 M 且与椭圆 C 有且只有一个公共点的直线与 x 轴交于点 P.
1、求椭圆 C 的方程;
2、点 R 是椭圆 C 上异于 M 的一点,且三角形 MPR 的面积为 24,求直线 MR 的方程;
3、过点 P 的直线交椭圆 C 于 D,E 两点 (D 在 E 的左侧),若 N 为线段 FP 的中点,直线 NE 交直线 MF 于点 Q,T 为线段 DF 的中点,求线段 TQ 的最大值.
解析
1、根据 MF⊥x 轴可得 F(1,0) 进而椭圆的半焦距 c=1,椭圆 C 的半通径长 b2a=83,从而所求椭圆 C 的方程为 x29+y28=1.
2、椭圆 C 在点 M 处的切线 PM 方程为1⋅x9+83⋅y8=1⟺x+3y−9=0,于是 P(9,0),设 R(x0,y0),则 △MPR 的面积[△MPR]=12⋅d(R,PM)⋅|PM|=12⋅|x0+3y0−9|√10⋅√1+(−13)2⋅|1−9|=4|x0+3y0−9|3,因此由三角形 MPR 的面积为 24 可得|x0+3y0−9|=18⟹−(x0+3y0−9)=18⟹x0+3y0+9=0,从而 R 是 M 关于 O 的对称点,直线 MR 的方程为 y=83x.
3、设 D(x1,y1),E(x2,y2),→DP=λ→PE,根据定比点差法,有{x1+λx21+λ=9,y1+λy21+λ=0,⟺{λx2=9+9λ−x1,λy2=−y1,又{8x21+9y21=72,8(λx2)2+9(λy2)2=72λ2,⟹8⋅x1+λx21+λ⋅x1−λx21−λ+9y1+λy21+λ⋅y1−λy21−λ=72,代入可得−5λ+λx2=4,而 P(9,0),F(1,0),N(5,0),E(x2,y2),则直线 NE 的方程为y−0=y2x2−5(x−5),又 MF⊥x 轴,直线 NE 与 MF 交于 Q,则 Q 点横坐标为 1,其纵坐标yQ=4y25−x2=−λy2=y1,因此 DQ⊥y 轴,从而TQ=12DF⩽12(a+c)=2,等号当 D 位于椭圆的左顶点时取得,因此线段 TQ 的最大值为 2.