每日一题[3608]枚举艺术

2024年10月天域全国名校协作体高三数学联考 #11

已知 $x_1,x_2,\cdots,x_5,x_6$ 为 $1,2,\cdots,5,6$ 的任意排列，设 $$\begin{split} X&=\displaystyle\min\left\{\max\left\{x_1,x_2,x_3\right\},\max\left\{x_4,x_5,x_6\right\}\right\},\\ Y&=\max\left\{\min\left\{x_1,x_2,x_3\right\},\min\left\{x_4,x_5,x_6\right\}\right\},\end{split}$$ 则（       ）

A．任意交换 $x_1,x_2,x_3$ 的顺序，不影响 $X$ 的取值

B．满足 $x_1<x_2<x_3$ 及 $x_4<x_5<x_6$ 的排列有 $20$ 个

C．$X=4$ 的概率为 $\dfrac 1 5$

D．$X>Y$ 的概率为 $\dfrac 9{10}$

答案    ABD．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，任意交换 $x_1,x_2,x_3$ 的顺序，不改变 $\max\{x_1,x_2,x_3\}$ 的值，因此不影响 $X$ 的取值，选项正确；

对于选项 $\boxed{B}$，满足 $x_1<x_2<x_3$ 及 $x_4<x_5<x_6$ 的排列有 $\dbinom 63\dbinom 33=20$ 个，选项正确；

对于选项 $\boxed{C}$ $\boxed{D}$，不妨设 $x_1<x_2<x_3$，$x_4<x_5<x_6$，$x_1<x_4$，此时 $X=\min\{x_3,x_6\}$，$Y=x_4$，列举如下： $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x_1,x_2,x_3 & x_4,x_5,x_6 & X & Y &X=4&X>Y\\\hline 123 & 456 & 3 & 4&& \\\hline 124 & 356 & 4 & 3&\checkmark&\checkmark \\\hline 125 & 346 & 5 & 3&&\checkmark \\\hline 126 & 345 & 5 & 3&&\checkmark \\\hline 134 & 256 & 4 & 2&\checkmark&\checkmark \\\hline 135 & 246 & 5 & 2&&\checkmark \\\hline 136 & 245 & 5 & 2&&\checkmark\\\hline 145 & 236 & 5 & 2&&\checkmark\\\hline 146 & 235 & 5 & 2&&\checkmark\\\hline 156 & 234 & 4 & 2&\checkmark&\checkmark\\\hline \end{array}$$ 因此 $X=4$ 的概率为 $\dfrac 3{10}$，$X>Y$ 的概率为 $\dfrac 9{10}$，选项 $\boxed{C}$ 错误，选项 $\boxed{D}$ 正确．

综上所述，正确的选项是 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{D}$．