每日一题[3605]对称互补

2024年10月天域全国名校协作体高三数学联考 #5

已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，$a_m=0$ 是 $S_n=S_{2m-n-1}$（$n<2m-1$，$n\in\mathbb N^{\ast}$）的（       ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案    C．

解析    对于等差数列，有

$$a_m=0\iff \sum_{k=m-i}^{m+i}a_k=0\iff S_{m+i}-S_{m-1-i}=0,$$ 其中 $i$ 为不超过 $m-1$ 的任意自然数，取 $i=m-n-1$，即得 $S_n=S_{2m-n-1}$（$n<2m-1$，$n\in\mathbb N^{\ast}$），因此 $a_m=0$ 是 $S_n=S_{2m-n-1}$（$n<2m-1$，$n\in\mathbb N^{\ast}$）的充分必要条件．