每日一题[3601]零在哪里？

2024年10月九省联考高三数学质量检测 #7

已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，等比数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，正整数 $k\geqslant 2$．

命题 $p$：若 $S_1 S_2\cdots S_k=0$，则 $a_1 a_2\cdots a_k =0$；

命题 $q$：若 $T_1 T_2\cdots T_k=0$，则 $b_{k-1}+b_k =0$； 则（       ）

A．$p$ 是真命题，$q$ 是假命题

B．$p$ 是假命题，$q$ 是真命题

C．$p$ 与 $q$ 都是真命题

D．$p$ 与 $q$ 都是假命题

答案    B．

解析    对于命题 $p$，设 $S_n=A\cdot n^2+B\cdot n$，其中 $A,B\in\mathbb R$，则 $$S_1S_2 \cdots S_k=0\iff \exists m\leqslant k ,~S_m=0\iff \exists m\leqslant k ,~ A\cdot m+B=0,$$ 而 $$a_1a_2\cdot a_k=0\iff \exists m\leqslant k,~a_m=0\iff \exists m\leqslant k,~2A\cdot m+(B-A)=0,$$ 取 $A$ 为奇数，$B$ 为 $-A$ 的偶数倍，则命题 $p$ 不成立，如 $A=-1$，$B=2$，$k=2$，$m=2$．

对于命题 $q$，若 $\{b_n\}$ 是常数列，则 $T_n\ne 0$，不满足命题 $q$ 的前提条件；若 $\{b_n\}$ 不是常数列，设 $T_n=A\left(q^n-1\right)$，其中 $A,q$ 均为非零实数且 $q\ne 1$，此时 $$T_1T_2\cdots T_k=0\iff \exists m\leqslant k,~T_m=0\iff q^m=1,$$ 因此 $q=-1$ 且 $m$ 为正偶数．而 $$b_{k-1}+b_k=0\iff b_{k-1}(1+q)=0\iff q=-1,$$ 因此命题 $q$ 为真命题．

综上所述，$p$ 是假命题，$q$ 是真命题．