2024年12月T8八校高三联考数学试卷 #19
$n$ 为不小于 $3$ 的正整数，对整数数列 $S_0: a_1,a_2,\cdots,a_n$，可以做以下三种变换： ① 将 $a_1,a_2,\cdots,a_{n}$ 中的 $a_1$ 减 $1$，$a_2$ 加 $1$，其余项不变，称此变换为对 $S_0$ 做 $A_1$ 变换； ② 取 $i\in\{2,\cdots,n-1\}$，将 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 中的 $a_i$ 减 $2$，$a_{i-1},a_{i+1}$ 均加 $1$，其余项不变，称此变换为对 $S_0$ 做 $A_i$ 变换； ③ 将 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 中的 $a_n$ 减 $1$，$a_{n-1}$ 加 $1$，其余项不变，称此变换为对 $S_0$ 做 $A_n$ 变换． 将数列 $S_0$ 做一次变换得到 $S_1$，将数列 $S_1$ 做一次变换得到 $S_2$，$\cdots\cdots$ 例如：$n=4$ 时，对数列 $S_0: 0,-1,1,0$ 依次做 $A_3,A_4$ 变换，意义如下： 先对 $S_0$ 做 $A_3$ 变换得到数列 $S_1: 0,0,-1,1$，再对 $S_1$ 做 $A_4$ 变换得到数列 $S_2: 0,0,0,0$．
1、$n=5$ 时，给定数列 $S_0: 0,-1,1,0,0$，求证：可以对 $S_0$ 做若干次变换得到数列 $0,0,0,0,0$；
2、$n=5$ 时，求证：对任意整数数列 $S_0: a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$，若 $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=0$，则可以对 $S_0$ 做若干次变换得到数列 $0,0,0,0,0$；
3、若将变换 ① 中的 $a_2$ 改为 $a_3$，将变换 ③ 中的 $a_{n-1}$ 改为 $a_{n-2}$，在 $n=10$ 时，求证：对任意整数数列 $S_0: a_1,a_2,\cdots,a_{10}$，若 $a_1+a_2+\cdots+a_{10}=0$，且 $a_1+a_3+a_5+a_7+a_9$ 和 $a_2+a_4+a_6+a_8 +a_{10}$ 均为偶数，则可以对整数数列 $S_0$ 做若干次变换得到数列 $\underbrace{0,0,\cdots,0}_{10~\text{个}}$．
解析
1、根据题意，有\[\begin{split} S_0&:0,-1,1,0,0\\ A_3\to S_1&:0,0,-1,1,0\\ A_4\to S_2&:0,0,0,-1,1,\\ A_5\to S_3&:0,0,0,0,0,\end{split}\]因此命题得证．
2、对数列 $S_0: a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ 依次做\[A_{i+1},A_{i+2},\cdots,A_5,\]则得到的新数列第 $i$ 项增加 $1$，第 $i+1$ 项减小 $1$，其余项不变，其中 $i=1,2,3,4$． 对数列中 $S_0: a_1,a_2,a_3,a_4,a_3$ 依次做\[A_i,A_{i-1},\cdots,A_1,\]则得到的新数列第 $i$ 项减小 $1$，第 $i+1$ 项增加 $1$，其余项不变，其中 $i=1,2,3,4$． 将以上两种复合变换定义为 $B_i$ 变换，则依次通过若干次 $B_1,B_2,B_3,B_4$ 变换可以将\[\begin{split} a_1,a_2,a_3,a_4,a_5&\to 0,a_1+a_2,a_3,a_4,a_5\\ &\to 0,0,a_1+a_2+a_3,a_4,a_5\\ &\to \cdots \\ &\to 0,0,0,0,a_1+a_2+a_3+a_4+a_5,\end{split}\]命题得证．
3、记新变换分别为 $C_1,C_{10}$．记 $T_1=a_1+a_3+a_5+a_7+a_9$，$T_2=a_2+ a_4+a_6+a_8+a_{10}$，则每次变换使得 $T_1$ 的值加 $2$ 或减 $2$ 或不变，故可以经过若干次变换使得 $T_1=0$，此时 $T_2=0$， 对任意数列 $S_0: a_1,a_2,\cdots,a_{10}$ 依次做\[A_{j-1},A_j,A_j,A_{j+1},\]则得到的新数列第 $j$ 项减小 $2$，第 $j-2,j+2$ 项均增加 $1$，其余项不变，其中 $j=3,4,5,6,7,8$．该变换定义为 $C_j$ 变换． 对任意数列 $S_0: a_1,a_2,\cdots,a_{10}$ 依次做\[ A_8,A_9,A_{10},\]得到的数列中第 $ 7 $ 项增加 $ 1 $，第 $ 9 $ 项减小 $ 1 $，其余项不变．该变换定义为 $C_9$ 变换， 此时对于 $a_1,a_3,a_5,a_7,a_9$，考虑复合变换 $ B_1,B_3,B_5,B_7,B_9 $，根据第 $(2)$ 小题的结果，可以将所有项变换到全为 $0$； 类似的处理 $a_2,a_4,a_6,a_8,a_{10}$，命题得证．