2024年12月T8八校高三联考数学试卷 #19
n 为不小于 3 的正整数,对整数数列 S0:a1,a2,⋯,an,可以做以下三种变换: ① 将 a1,a2,⋯,an 中的 a1 减 1,a2 加 1,其余项不变,称此变换为对 S0 做 A1 变换; ② 取 i∈{2,⋯,n−1},将 a1,a2,⋯,an 中的 ai 减 2,ai−1,ai+1 均加 1,其余项不变,称此变换为对 S0 做 Ai 变换; ③ 将 a1,a2,⋯,an 中的 an 减 1,an−1 加 1,其余项不变,称此变换为对 S0 做 An 变换. 将数列 S0 做一次变换得到 S1,将数列 S1 做一次变换得到 S2,⋯⋯ 例如:n=4 时,对数列 S0:0,−1,1,0 依次做 A3,A4 变换,意义如下: 先对 S0 做 A3 变换得到数列 S1:0,0,−1,1,再对 S1 做 A4 变换得到数列 S2:0,0,0,0.
1、n=5 时,给定数列 S0:0,−1,1,0,0,求证:可以对 S0 做若干次变换得到数列 0,0,0,0,0;
2、n=5 时,求证:对任意整数数列 S0:a1,a2,a3,a4,a5,若 a1+a2+a3+a4+a5=0,则可以对 S0 做若干次变换得到数列 0,0,0,0,0;
3、若将变换 ① 中的 a2 改为 a3,将变换 ③ 中的 an−1 改为 an−2,在 n=10 时,求证:对任意整数数列 S0:a1,a2,⋯,a10,若 a1+a2+⋯+a10=0,且 a1+a3+a5+a7+a9 和 a2+a4+a6+a8+a10 均为偶数,则可以对整数数列 S0 做若干次变换得到数列 0,0,⋯,0⏟10 个.
解析
1、根据题意,有S0:0,−1,1,0,0A3→S1:0,0,−1,1,0A4→S2:0,0,0,−1,1,A5→S3:0,0,0,0,0,因此命题得证.
2、对数列 S0:a1,a2,a3,a4,a5 依次做Ai+1,Ai+2,⋯,A5,则得到的新数列第 i 项增加 1,第 i+1 项减小 1,其余项不变,其中 i=1,2,3,4. 对数列中 S0:a1,a2,a3,a4,a3 依次做Ai,Ai−1,⋯,A1,则得到的新数列第 i 项减小 1,第 i+1 项增加 1,其余项不变,其中 i=1,2,3,4. 将以上两种复合变换定义为 Bi 变换,则依次通过若干次 B1,B2,B3,B4 变换可以将a1,a2,a3,a4,a5→0,a1+a2,a3,a4,a5→0,0,a1+a2+a3,a4,a5→⋯→0,0,0,0,a1+a2+a3+a4+a5,命题得证.
3、记新变换分别为 C1,C10.记 T1=a1+a3+a5+a7+a9,T2=a2+a4+a6+a8+a10,则每次变换使得 T1 的值加 2 或减 2 或不变,故可以经过若干次变换使得 T1=0,此时 T2=0, 对任意数列 S0:a1,a2,⋯,a10 依次做Aj−1,Aj,Aj,Aj+1,则得到的新数列第 j 项减小 2,第 j−2,j+2 项均增加 1,其余项不变,其中 j=3,4,5,6,7,8.该变换定义为 Cj 变换. 对任意数列 S0:a1,a2,⋯,a10 依次做A8,A9,A10,得到的数列中第 7 项增加 1,第 9 项减小 1,其余项不变.该变换定义为 C9 变换, 此时对于 a1,a3,a5,a7,a9,考虑复合变换 B1,B3,B5,B7,B9,根据第 (2) 小题的结果,可以将所有项变换到全为 0; 类似的处理 a2,a4,a6,a8,a10,命题得证.