每日一题[3600]摁锅起瓢

2024年12月T8八校高三联考数学试卷 #19

n 为不小于 3 的正整数,对整数数列 S0:a1,a2,,an,可以做以下三种变换: ① 将 a1,a2,,an 中的 a11a21,其余项不变,称此变换为对 S0A1 变换; ② 取 i{2,,n1},将 a1,a2,,an 中的 ai2ai1,ai+1 均加 1,其余项不变,称此变换为对 S0Ai 变换; ③ 将 a1,a2,,an 中的 an1an11,其余项不变,称此变换为对 S0An 变换. 将数列 S0 做一次变换得到 S1,将数列 S1 做一次变换得到 S2 例如:n=4 时,对数列 S0:0,1,1,0 依次做 A3,A4 变换,意义如下: 先对 S0A3 变换得到数列 S1:0,0,1,1,再对 S1A4 变换得到数列 S2:0,0,0,0

1、n=5 时,给定数列 S0:0,1,1,0,0,求证:可以对 S0 做若干次变换得到数列 0,0,0,0,0

2、n=5 时,求证:对任意整数数列 S0:a1,a2,a3,a4,a5,若 a1+a2+a3+a4+a5=0,则可以对 S0 做若干次变换得到数列 0,0,0,0,0

3、若将变换 ① 中的 a2 改为 a3,将变换 ③ 中的 an1 改为 an2,在 n=10 时,求证:对任意整数数列 S0:a1,a2,,a10,若 a1+a2++a10=0,且 a1+a3+a5+a7+a9a2+a4+a6+a8+a10 均为偶数,则可以对整数数列 S0 做若干次变换得到数列 0,0,,010 

解析

1、根据题意,有S0:0,1,1,0,0A3S1:0,0,1,1,0A4S2:0,0,0,1,1,A5S3:0,0,0,0,0,

因此命题得证.

2、对数列 S0:a1,a2,a3,a4,a5 依次做Ai+1,Ai+2,,A5,

则得到的新数列第 i 项增加 1,第 i+1 项减小 1,其余项不变,其中 i=1,2,3,4. 对数列中 S0:a1,a2,a3,a4,a3 依次做Ai,Ai1,,A1,
则得到的新数列第 i 项减小 1,第 i+1 项增加 1,其余项不变,其中 i=1,2,3,4. 将以上两种复合变换定义为 Bi 变换,则依次通过若干次 B1,B2,B3,B4 变换可以将a1,a2,a3,a4,a50,a1+a2,a3,a4,a50,0,a1+a2+a3,a4,a50,0,0,0,a1+a2+a3+a4+a5,
命题得证.

3、记新变换分别为 C1,C10.记 T1=a1+a3+a5+a7+a9T2=a2+a4+a6+a8+a10,则每次变换使得 T1 的值加 2 或减 2 或不变,故可以经过若干次变换使得 T1=0,此时 T2=0, 对任意数列 S0:a1,a2,,a10 依次做Aj1,Aj,Aj,Aj+1,

则得到的新数列第 j 项减小 2,第 j2,j+2 项均增加 1,其余项不变,其中 j=3,4,5,6,7,8.该变换定义为 Cj 变换. 对任意数列 S0:a1,a2,,a10 依次做A8,A9,A10,
得到的数列中第 7 项增加 1,第 9 项减小 1,其余项不变.该变换定义为 C9 变换, 此时对于 a1,a3,a5,a7,a9,考虑复合变换 B1,B3,B5,B7,B9,根据第 (2) 小题的结果,可以将所有项变换到全为 0; 类似的处理 a2,a4,a6,a8,a10,命题得证.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表回复