每日一题[3598]孤掌难鸣

2024年12月T8八校高三联考数学试卷 #17

设函数 $f(x)=\left(x-\dfrac{\pi}2\right)\cos x+1$．

1、讨论函数 $f(x)$ 在区间 $[0,\pi]$ 上的单调性；

2、判断并证明函数 $y=f(x)$ 在区间 $\left[\dfrac{\pi}2,\dfrac{3\pi}2\right]$ 上零点的个数．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\cos x-\left(x-\dfrac{\pi}2\right)\sin x,$$ 当 $0<x<\dfrac{\pi}2$ 时，有 $$\cos x>0>\left(x-\dfrac{\pi}2\right)\sin x,$$ 当 $\dfrac{\pi}2<x<\pi$ 时，有 $$\cos x<0<\left(x-\dfrac{\pi}2\right)\sin x,$$ 因此 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac{\pi}2,\pi\right)$ 上单调递减．

2、函数 $f'(x)$ 的导函数

$$f''(x)=-2\sin x-\left(x-\dfrac{\pi}2\right)\cos x,$$ 于是 $f'(x)$ 在 $\left(\pi,\dfrac{3\pi}2\right)$ 上单调递增，又 $$f'(\pi)=-1,\quad f'\left(\dfrac{3\pi}2\right)=\pi,$$ 从而 $f(x)$ 在 $\left(\pi,\dfrac{3\pi}2\right)$ 上先单调递减，后单调递增，结合第 $(1)$ 小题中分析有 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}\hline x&0&\left(0,\dfrac{\pi}2\right)&\dfrac{\pi}2&\left(\dfrac{\pi}2,\pi\right)&\pi &\left(\pi,\dfrac{3\pi}2\right)&\dfrac{3\pi}2\\ \hline f(x)& -\dfrac{\pi}2+1&\nearrow&1&\searrow&-\dfrac{\pi}2+1&\searrow\nearrow&1\\ \hline\end{array}$$ 因此函数 $y=f(x)$ 在区间 $\left[\dfrac{\pi}2,\dfrac{3\pi}2\right]$ 上零点个数为 $2$．