每日一题[3597]空间垂心

2024年12月T8八校高三联考数学试卷 #16

在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为直角梯形，$AD\parallel BC$，$AB\perp AD$，$PA\perp~\text{平面}~ABCD$，$AP=AD=2 AB=4 BC$．

1、求证：平面 $PAC\perp~\text{平面}~PBD$；

2、$AM\perp~\text{平面}~PCD$ 于点 $M$，求二面角 $M-AD-P$ 的余弦值．

解析

1、不妨设 $BC=1$，建立空间直角坐标系 $A-BDP$，则

$$A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),D(0,4,0),P(0,0,4),$$ 在底面 $ABCD$ 中，有 $$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=\left(2,1,0\right)\cdot \left(-2,4,0\right)=0,$$ 因此 $AC\perp BD$，而 $PA\perp ABCD$，于是 $PA\perp BD$，进而 $BD\perp PAC$，因此 $PBD\perp PAC$，命题得证．

2、根据题意，有

$$\begin{cases} \overrightarrow {PC}=(2,1,-4),\\ \overrightarrow{PD}=(0,4,-4),\end{cases}\implies \overrightarrow n_{PCD}=(3,2,2),$$ 因此平面 $PCD$ 的方程为 $$3x+2y+2z=8,$$ 从而 $M\left(\dfrac{24}{17},\dfrac{16}{17},\dfrac{16}{17}\right)$，于是点 $M$ 到平面 $PAD$ 的距离 $$d(M,PAD)=\dfrac{24}{17},$$ 点 $M$ 到棱 $AD$ 的距离 $$d(M,AD)=\sqrt{\left(\dfrac{24}{17}\right)^2+\left(\dfrac{16}{17}\right)^2}=\dfrac{8\sqrt{13}}{17},$$ 设二面角 $M-AD-P$ 大小为 $\theta$，则所求余弦值 $$\cos\theta=\sqrt{1-\left(\dfrac{d(M,PAD)}{d(M,AD)}\right)^2}=\dfrac{2\sqrt{13}}{13}.$$

备注    延长 $AB,DC$ 交于点 $Q$，由三棱锥 $A-PDQ$ 三对对棱互相垂直，可得 $M$ 为 $\triangle PQD$ 的垂心，延长 $DM$ 交 $PQ$ 于 $H$，则 $DH\perp PQ$，连接 $AH$，则 $\angle HAP$ 二面角 $M-AD-P$ 的平面角，于是

$$\cos\angle HAP=\cos\angle PQA=\dfrac{\frac 83}{\frac{4\sqrt{13}}3}=\dfrac2{\sqrt 13}=\dfrac{2\sqrt{13}}{13}.$$