2024年12月T8八校高三联考数学试卷 #16
在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，PA⊥ 平面 ABCD，AP=AD=2AB=4BC．
1、求证：平面 PAC⊥ 平面 PBD；
2、AM⊥ 平面 PCD 于点 M，求二面角 M−AD−P 的余弦值．
解析
1、不妨设 BC=1，建立空间直角坐标系 A−BDP，则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),D(0,4,0),P(0,0,4),
在底面 ABCD 中，有→AC⋅→BD=(2,1,0)⋅(−2,4,0)=0,
因此 AC⊥BD，而 PA⊥ABCD，于是 PA⊥BD，进而 BD⊥PAC，因此 PBD⊥PAC，命题得证．
2、根据题意，有{→PC=(2,1,−4),→PD=(0,4,−4),⟹→nPCD=(3,2,2),
因此平面 PCD 的方程为3x+2y+2z=8,
从而 M(2417,1617,1617)，于是点 M 到平面 PAD 的距离d(M,PAD)=2417,
点 M 到棱 AD 的距离d(M,AD)=√(2417)2+(1617)2=8√1317,
设二面角 M−AD−P 大小为 θ，则所求余弦值cosθ=√1−(d(M,PAD)d(M,AD))2=2√1313.
备注 延长 AB,DC 交于点 Q，由三棱锥 A−PDQ 三对对棱互相垂直，可得 M 为 △PQD 的垂心，延长 DM 交 PQ 于 H，则 DH⊥PQ，连接 AH，则 ∠HAP 二面角 M−AD−P 的平面角，于是cos∠HAP=cos∠PQA=834√133=2√13=2√1313.
