每日一题[3596]百花齐放

2024年12月T8八校高三联考数学试卷 #15

在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，且 $\dfrac{1+\sin A}{\cos A}=\dfrac{1+\sin B}{\cos B}$．

1、判断 $\triangle ABC$ 的形状；

2、设 $AB=2$，且 $D$ 是边 $BC$ 的中点，求当 $\angle CAD$ 最大时 $\triangle ABC$ 的面积．

解析

1、设 $f(x)=\dfrac{1+\sin x}{\cos x}$，则当 $x$ 为锐角时，$f(x)>0$ 且 $f(x)$ 单调递增；当 $x$ 为钝角时，$f(x)<0$．而 $A,B$ 不可能同为钝角，因此 $A,B$ 同为锐角，进而 $A=B$，$\triangle ABC$ 是以 $C$ 为顶角的等腰三角形．

2、建立直角坐标系 $A-By$，设 $C(1,2t)$（$t>0$），则 $B(2,0)$，$D\left(\dfrac 32,t\right)$，且

$$\tan\angle CAD=\dfrac{2t-\dfrac{2t}3}{1+2t\cdot \dfrac{2t}3}=\dfrac{4t}{3+4t^2}\leqslant \dfrac{4t}{2\sqrt{3\cdot 4t^2}}=\dfrac{1}{\sqrt 3},$$ 等号等且仅当 $t=\dfrac{\sqrt 3}2$ 时取得，此时 $\triangle ABC$ 的面积 $$[\triangle ABC]=\dfrac 12 \cdot AB\cdot d(C,AB)=\dfrac 12\cdot 2\cdot 2t=2t=\sqrt 3.$$

备注    在 $\triangle ACD$ 中，由正弦定理可得

$$\dfrac{\sin\angle CAD}{CD}=\dfrac{\sin\angle CDA}{AC},$$ 而 $AC=CB=2CD$，于是 $$\sin\angle CAD=\dfrac{CD}{AC}\sin\angle CDA\leqslant \dfrac 12,$$ 等号当 $\angle CDA=\dfrac{\pi}2$ 时取得，以下略．