2024年12月T8八校高三联考数学试卷 #14
已知函数 $f(x)=a^{x-1}-\log_a(x-1)$（其中 $a>0$，且 $a\neq 1$）为其定义域上的单调函数，则实数 $a$ 的取值范围为_____．
答案 $\left[\mathrm e^{- \mathrm e},1\right)$．
解析 只需要考虑函数 $f(x)=a^x-\log_ax$（$x>0$），其导函数\[f'(x)=\dfrac{\ln^2 a\cdot x\cdot a^x-1}{x\ln a},\]设 $g(x)=\ln^2 a\cdot x\cdot a^x-1$，则当 $x\to 0$ 时，$g(x)\to -1$，因此问题等价于对 $x\in\mathbb R^+$，有 $g(x)\leqslant 0$，而 $g(x)$ 的导函数\[g'(x)=\ln^2 a\cdot a^x\left(1+x\ln a\right),\]因此当 $a>1$ 时有 $g(x)$ 单调递增，而 $x\to +\infty$ 时，$g(x)\to +\infty$，不符合题意； 当 $0<a<1$ 时，函数 $g(x)$ 在 $x=-\dfrac1{\ln a}$ 处取得极大值，也为最大值\[g\left(-\dfrac1{\ln a}\right)=-{\ln a}\cdot a^{-\frac1{\ln a}}-1\leqslant 0,\]解得 $a\geqslant \mathrm e^{- \mathrm e}$，因此实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\mathrm e^{- \mathrm e},1\right)$．