每日一题[3595]指对合并

2024年12月T8八校高三联考数学试卷 #14

已知函数 f(x)=ax1loga(x1)(其中 a>0,且 a1)为其定义域上的单调函数,则实数 a 的取值范围为_____.

答案    [ee,1)

解析    只需要考虑函数 f(x)=axlogaxx>0),其导函数f(x)=ln2axax1xlna,g(x)=ln2axax1,则当 x0 时,g(x)1,因此问题等价于对 xR+,有 g(x)0,而 g(x) 的导函数g(x)=ln2aax(1+xlna),因此当 a>1 时有 g(x) 单调递增,而 x+ 时,g(x)+,不符合题意; 当 0<a<1 时,函数 g(x)x=1lna 处取得极大值,也为最大值g(1lna)=lnaa1lna10,解得 aee,因此实数 a 的取值范围是 [ee,1)

 

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