2024年12月T8八校高三联考数学试卷 #14
已知函数 f(x)=ax−1−loga(x−1)(其中 a>0,且 a≠1)为其定义域上的单调函数,则实数 a 的取值范围为_____.
答案 [e−e,1).
解析 只需要考虑函数 f(x)=ax−logax(x>0),其导函数f′(x)=ln2a⋅x⋅ax−1xlna,设 g(x)=ln2a⋅x⋅ax−1,则当 x→0 时,g(x)→−1,因此问题等价于对 x∈R+,有 g(x)⩽0,而 g(x) 的导函数g′(x)=ln2a⋅ax(1+xlna),因此当 a>1 时有 g(x) 单调递增,而 x→+∞ 时,g(x)→+∞,不符合题意; 当 0<a<1 时,函数 g(x) 在 x=−1lna 处取得极大值,也为最大值g(−1lna)=−lna⋅a−1lna−1⩽0,解得 a⩾e−e,因此实数 a 的取值范围是 [e−e,1).