2024年12月清华大学THUSSAT测试数学 #18
设 $f(x)=a \ln x+\dfrac{1}{x}$．
1、当 $a=1$ 时，求函数 $f(x)$ 的递减区间；
2、求证：函数 $g(x)=f(x)-\dfrac{1}{x}-a \ln (2-x)$ 的图象关于 $(1,0)$ 对称；
3、若当且仅当 $x \in(0,1)$ 时，$f(x)>x$，求实数 $a$ 的取值范围．
解析
1、当 $a=1$ 时，函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{x-1}{x^2},\]于是 $f(x)$ 的递减区间是 $(0,1)$．
2、只需要证明对任意 $x\in (0,1]$，有\[g(1+x)+g(1-x)=0,\]也即\[ \left(f(1+x)-\dfrac1{1+x}-a\ln(1-x)\right)+\left(f(1-x)-\dfrac1{1-x}-a\ln(1+x)\right)=0,\]因此命题得证．
3、根据题意，关于 $x$ 的不等式 $f(x)>x$ 的解集为 $(0,1)$，设 $g(x)=f(x)-x$，即\[g(x)=a\ln x+\dfrac 1x-x,\]则 $g(1)=0$，且 $g(x)$ 的导函数\[g'(x)=\dfrac{a-\left(x+\dfrac 1x\right)}{x},\]于是 $g'(1)=a-2$． [[case]]情形一[[/case]] $a\leqslant 2$．此时 $g'(x)\leqslant 0$，于是 $g(x)$ 在 $x\in (0,+\infty)$ 上单调递减，结合 $g(1)=0$，符合题意． [[case]]情形二[[/case]] $a>2$．此时在区间 $x\in\left(\dfrac{a-\sqrt{a^2-4}}2,\dfrac{a+\sqrt{a^2-4}}2\right)$ 上有 $g'(x)>0$，于是在区间 $x\in\left(\dfrac{a-\sqrt{a^2-4}}2,1\right)$ 上，$g(x)<0$，而在区间 $x\in \left(1,\dfrac{a+\sqrt{a^2-4}}2\right)$ 上有 $g(x)>0$，与题意不符．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,2]$．