每日一题[3579]引参表达

2024年浙江省名校协作体高三上学期开学数学考试 #18

如图，已知抛物线 $y^2=4 x$ 的焦点为 $F$，过点 $P(-1,2)$ 作一条不经过 $F$ 的直线 $l$，若直线 $l$ 与拋物线交于异于原点的 $A,B$ 两点，点 $B$ 在 $x$ 轴下方，且 $A$ 在线段 $PB$ 上．

（1）试判断：直线 $FA,FB$ 的斜率之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

（2）过点 $B$ 作 $PF$ 的垂线交直线 $AF$ 于点 $C$，若 $\triangle FBC$ 的面积为 $4$，求点 $B$ 的坐标．

解析

（1）设 $A(4a^2,4a)$，$B(4b^2,4b)$，则

$$AB:x-(a+b)y+4ab=0,$$ 直线 $AB$ 过点 $P$，从而 $$-1-2(a+b)+4ab=0\iff (2a-1)(2b-1)=2,$$ 进而直线 $FA,FB$ 的斜率之积为 $$\dfrac{4a}{4a^2-1}\cdot \dfrac{4b}{4b^2-1}=\dfrac{16ab}{2(2a+1)(2b+1)}=\dfrac{2(2a+2b+1)}{4ab+2a+2b+1}=1,$$ 为定值．

（2）设 $B(4t^2,4t)$（$t<0$），根据第 $(1)$ 小题的结论，可得点 $B,C$ 关于直线 $PF:x+y-1=0$ 对称，进而

$$BC:x-y+4t-4t^2=0,$$ 因此 $$\begin{split} [\triangle FBC]=4&\iff \dfrac 12\cdot d(F,BC)\cdot 2d(B,PF)=4\\ &\iff \dfrac 12\cdot \dfrac{|4t^2+4t-1|}{\sqrt 2}\cdot 2\cdot \dfrac{|1+4t-4t^2|}{\sqrt 2}=4\\ &\iff (4t^2-1)^2-16t^2=\pm 8\\ &\iff t=-\dfrac{\sqrt 3}2,-\dfrac{\sqrt 7}2,\end{split}$$ 于是点 $B$ 的坐标为 $(3,-2\sqrt 3),(7,-2\sqrt 7)$．