2024年浙江省名校协作体高三上学期开学数学考试 #18
如图,已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过点 P(−1,2) 作一条不经过 F 的直线 l,若直线 l 与拋物线交于异于原点的 A,B 两点,点 B 在 x 轴下方,且 A 在线段 PB 上.
(1)试判断:直线 FA,FB 的斜率之积是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
(2)过点 B 作 PF 的垂线交直线 AF 于点 C,若 △FBC 的面积为 4,求点 B 的坐标.
解析
(1)设 A(4a2,4a),B(4b2,4b),则AB:x−(a+b)y+4ab=0,直线 AB 过点 P,从而−1−2(a+b)+4ab=0⟺(2a−1)(2b−1)=2,进而直线 FA,FB 的斜率之积为4a4a2−1⋅4b4b2−1=16ab2(2a+1)(2b+1)=2(2a+2b+1)4ab+2a+2b+1=1,为定值.
(2)设 B(4t2,4t)(t<0),根据第 (1) 小题的结论,可得点 B,C 关于直线 PF:x+y−1=0 对称,进而BC:x−y+4t−4t2=0,因此[△FBC]=4⟺12⋅d(F,BC)⋅2d(B,PF)=4⟺12⋅|4t2+4t−1|√2⋅2⋅|1+4t−4t2|√2=4⟺(4t2−1)2−16t2=±8⟺t=−√32,−√72,于是点 B 的坐标为 (3,−2√3),(7,−2√7).