每日一题[3579]引参表达

2024年浙江省名校协作体高三上学期开学数学考试 #18

如图,已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过点 P(1,2) 作一条不经过 F 的直线 l,若直线 l 与拋物线交于异于原点的 A,B 两点,点 Bx 轴下方,且 A 在线段 PB 上.

(1)试判断:直线 FA,FB 的斜率之积是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.

(2)过点 BPF 的垂线交直线 AF 于点 C,若 FBC 的面积为 4,求点 B 的坐标.

解析

(1)设 A(4a2,4a)B(4b2,4b),则AB:x(a+b)y+4ab=0,直线 AB 过点 P,从而12(a+b)+4ab=0(2a1)(2b1)=2,进而直线 FA,FB 的斜率之积为4a4a214b4b21=16ab2(2a+1)(2b+1)=2(2a+2b+1)4ab+2a+2b+1=1,为定值.

(2)设 B(4t2,4t)t<0),根据第 (1) 小题的结论,可得点 B,C 关于直线 PF:x+y1=0 对称,进而BC:xy+4t4t2=0,因此[FBC]=412d(F,BC)2d(B,PF)=412|4t2+4t1|22|1+4t4t2|2=4(4t21)216t2=±8t=32,72,于是点 B 的坐标为 (3,23),(7,27)

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表回复