每日一题[3578]公切线

2024年浙江省名校协作体高三上学期开学数学考试 #17

已知函数 $f(x)=x^2+2 x+4$，$g(x)=2\ln x+2 x+5$．

（1）判断函数 $g(x)$ 的零点个数，并说明理由；

（2）求曲线 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 的所有公切线方程．

解析

（1）由于函数 $g(x)$ 单调递增，且

$$g\left(\mathrm e^{-3}\right)=-6+3\mathrm e^{-3}<0,\quad g(1)=7>0,$$ 因此 $g(x)$ 的零点个数为 $1$．

（2）设曲线 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 的公切线 $l$ 与曲线 $y=f(x), y=g(x)$ 的切点横坐标分别为 $a,b$，则对应的切线方程为

$$\begin{split} y=a^2+2a+4+(2a+2)(x-a),\\ y=2\ln b+2b+5+\left(\dfrac 2b+2\right)(x-b),\end{split}$$ 因此 $$\begin{cases} 2a+2=\dfrac 2b+2,\\ -a^2+4=2\ln b+3,\end{cases}\iff \begin{cases} b=\dfrac 1a,\\a^2-2\ln a-1=0,\end{cases}$$ 设 $h(x)=x^2-2\ln x-1$，则其导函数 $$h'(x)=\dfrac{2(x+1)}x\cdot (x-1),$$ 于是 $h(x)$ 在 $x=1$ 处取得极小值，也为最小值 $h(1)=0$，因此方程 $h(a)=0$ 有唯一实数解 $a=1$，进而所求公切线方程为 $y=4x+3$．