每日一题[3578]公切线

2024年浙江省名校协作体高三上学期开学数学考试 #17

已知函数 f(x)=x2+2x+4g(x)=2lnx+2x+5

(1)判断函数 g(x) 的零点个数,并说明理由;

(2)求曲线 y=f(x)y=g(x) 的所有公切线方程.

解析

(1)由于函数 g(x) 单调递增,且g(e3)=6+3e3<0,g(1)=7>0,因此 g(x) 的零点个数为 1

(2)设曲线 y=f(x)y=g(x) 的公切线 l 与曲线 y=f(x),y=g(x) 的切点横坐标分别为 a,b,则对应的切线方程为y=a2+2a+4+(2a+2)(xa),y=2lnb+2b+5+(2b+2)(xb),因此{2a+2=2b+2,a2+4=2lnb+3,{b=1a,a22lna1=0,h(x)=x22lnx1,则其导函数h(x)=2(x+1)x(x1),于是 h(x)x=1 处取得极小值,也为最小值 h(1)=0,因此方程 h(a)=0 有唯一实数解 a=1,进而所求公切线方程为 y=4x+3

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