2024年浙江省名校协作体高三上学期开学数学考试 #17
已知函数 f(x)=x2+2x+4,g(x)=2lnx+2x+5.
(1)判断函数 g(x) 的零点个数,并说明理由;
(2)求曲线 y=f(x) 与 y=g(x) 的所有公切线方程.
解析
(1)由于函数 g(x) 单调递增,且g(e−3)=−6+3e−3<0,g(1)=7>0,因此 g(x) 的零点个数为 1.
(2)设曲线 y=f(x) 与 y=g(x) 的公切线 l 与曲线 y=f(x),y=g(x) 的切点横坐标分别为 a,b,则对应的切线方程为y=a2+2a+4+(2a+2)(x−a),y=2lnb+2b+5+(2b+2)(x−b),因此{2a+2=2b+2,−a2+4=2lnb+3,⟺{b=1a,a2−2lna−1=0,设 h(x)=x2−2lnx−1,则其导函数h′(x)=2(x+1)x⋅(x−1),于是 h(x) 在 x=1 处取得极小值,也为最小值 h(1)=0,因此方程 h(a)=0 有唯一实数解 a=1,进而所求公切线方程为 y=4x+3.