每日一题[3569]伸缩成圆

2024年清华大学暑期文科营数学试题 #14

已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），直线 $l$ 经过坐标原点，与 $l$ 平行的直线与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，其中点 $A(2, \sqrt{2})$，当直线 $l \perp x$ 轴时，直线 $A B$ 经过椭圆的焦点．

（1）求椭圆 $C$ 的方程；

（2）若点 $D, E, G, H$ 满足 $3\overrightarrow{O E}=\overrightarrow{O D}=-\overrightarrow{O B}$，直线 $A E$ 交 $l$ 于点 $G$，直线 $D G$ 交 $A B$ 于点 $H$，求 $\triangle A G H$ 面积的取值范围．

解析

（1）根据题意，当直线 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，$AB$ 为椭圆的通径，于是

$$\begin{cases} \sqrt{a^2-b^2}=2,\\ \dfrac{b^2}a=\sqrt 2,\end{cases}\iff \begin{cases} a^2=8,\\ b^2=4,\end{cases}$$ 因此椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}8+\dfrac{y^2}4=1$．

（2）如图，$D$ 为 $B$ 关于原点 $O$ 的对称点，$G$ 为 $DH$ 的中点．

根据梅涅劳斯定理，对 $\triangle BDH$ 和截线 $EGA$，有

$$\dfrac{BE}{ED}\cdot \dfrac{DG}{GH}\cdot \dfrac{HA}{AB}=1\iff 2\cdot 1\cdot \dfrac{HA}{AB}=1\iff AH=\dfrac 12AB,$$ 于是 $\triangle AGH$ 的面积 $$[\triangle AGH]=\dfrac 12[\triangle OAB],$$ 而利用伸缩变换 $x'=x$，$y'=\sqrt 2y$，将椭圆变为圆 $x'^2+y'^2=8$，则 $A$ 的对应点 $A'(2,2)$，此时 $\triangle A'OB'$ 的面积的取值范围为 $\left(0,\dfrac 12r^2\right]$，其中 $r=2\sqrt 2$ 为圆的半径，当等腰三角形 $A'OB'$ 的顶角为直角时取得，因此 $\triangle AGH$ 面积的取值范围是 $\left(0,\dfrac 1{4\sqrt 2}r^2\right]$，即 $\left(0,\sqrt 2\right]$．