每日一题[3567]分段讨论

2024年清华大学暑期文科营数学试题 #8

已知不等式 $x|x-a|<1$ 的解集为 $P$，若 $(0,1] \subseteq P$，则实数 $a$ 的取值范围是_____．

答案    $(0,2)$．

解析    由于 $1\in P$，于是 $|1-a|<1$，从而 $0<a<2$，进而函数 $f(x)=x|x-a|$ 满足

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline x&-\infty&(-\infty,0)&0&\left(0,\dfrac a2\right)&\dfrac a2&\left(\dfrac a2,a\right)&a&(a,+\infty)&+\infty\\ \hline f(x)&-\infty&\nearrow&0&\nearrow&\dfrac{a^2}4&\searrow&0&\nearrow&+\infty \\ \hline\end{array}$$ 于是 $a$ 的取值范围是 $(0,2)$．