每日一题[3560]区间套

设函数 $y=f(x),x\in D$．记 $\underbrace{f(f(f\cdots f(x)))}_{n~\text{个}~f}=f_n(x)$，$n\in\mathbb N$，$n\geqslant 1$．对于 $D$ 的非空子集 $A$，若对任意 $x\in A$，都有 $f(x)\in A$，则称函数 $y=f(x)$ 在集合 $A$ 上封闭．

（1）若 $g(x)=2^x$，$h(x)=2^{-x}$，$A=[0,1]$，分别判断函数 $y=g(x)$ 和 $y=h(x)$ 是否在集合 $A$ 上封闭；

（2）设 $f(x)=x^2$，$x\in\mathbb R$，区间 $B=[a,b]$（其中 $a<b$），若函数 $y=f(x)$ 在集合 $B$ 上封闭，求 $b-a$ 的最大值；

（3）设 $k\in\mathbb N$，$k\geqslant 1$，若函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，函数 $y=f(x)$ 和 $y=f_k(x)$ 的图象都是连续的曲线，且函数 $y=f_k(x)$ 在区间 $I=[a,b]$（其中 $a<b$）上封闭，证明：存在 $x_0\in\mathbb R$，使得 $f\left(x_0\right)=x_0$．

解析

（1）由于 $g(1)=2$，而 $1\in A$，$2\notin A$，因此函数 $y=g(x)$ 不在集合 $A$ 上封闭； 由于 $\{ 2^{-x}\mid x\in A\}=\left[\dfrac 12,1\right]\subseteqq A$，因此函数 $y=h(x)$ 在集合 $A$ 上封闭．

（2）根据题意，有

$$\begin{cases} f(a)\leqslant b,\\ f(b)\leqslant b,\end{cases}\implies \begin{cases} a^2\leqslant b,\\ b^2\leqslant b,\end{cases}\implies \begin{cases} 0\leqslant b\leqslant 1,\\ a^2\leqslant 1,\end{cases}$$ 因此 $b-a\leqslant 2$，且当 $(a,b)=(-1,1)$ 时取得，等号，因此 $b-a$ 的最大值为 $2$．

（3）用反证法，若不存在 $x_0\in\mathbb R$，使得 $f(x_0)=x_0$，则以下二式中必然有一个成立：

$$\forall x\in I,f(x)>x,\tag{1}$$ 以及 $$\forall x\in I,f(x)<x,\tag{2}$$ 此时 $$f_k(b)>f_{k-1}(b)>\cdots >f(b)>b,$$ 以及 $$f_k(a)<f_{k-1}(a)<\cdots<f(a)<a,$$ 中必然有一个成立，这与函数 $y=f_k(x)$ 在区间 $I=[a,b]$ 上封闭矛盾，因此命题得证．