每日一题[3560]区间套

设函数 y=f(x),xD.记 f(f(ff(x)))n  f=fn(x)nNn1.对于 D 的非空子集 A,若对任意 xA,都有 f(x)A,则称函数 y=f(x) 在集合 A 上封闭.

(1)若 g(x)=2xh(x)=2xA=[0,1],分别判断函数 y=g(x)y=h(x) 是否在集合 A 上封闭;

(2)设 f(x)=x2xR,区间 B=[a,b](其中 a<b),若函数 y=f(x) 在集合 B 上封闭,求 ba 的最大值;

(3)设 kNk1,若函数 y=f(x) 的定义域为 R,函数 y=f(x)y=fk(x) 的图象都是连续的曲线,且函数 y=fk(x) 在区间 I=[a,b](其中 a<b)上封闭,证明:存在 x0R,使得 f(x0)=x0

解析

(1)由于 g(1)=2,而 1A2A,因此函数 y=g(x) 不在集合 A 上封闭; 由于 {2xxA}=[12,1]A,因此函数 y=h(x) 在集合 A 上封闭.

(2)根据题意,有{f(a)b,f(b)b,{a2b,b2b,{0b1,a21,因此 ba2,且当 (a,b)=(1,1) 时取得,等号,因此 ba 的最大值为 2

(3)用反证法,若不存在 x0R,使得 f(x0)=x0,则以下二式中必然有一个成立:xI,f(x)>x,以及xI,f(x)<x,此时fk(b)>fk1(b)>>f(b)>b,以及fk(a)<fk1(a)<<f(a)<a,中必然有一个成立,这与函数 y=fk(x) 在区间 I=[a,b] 上封闭矛盾,因此命题得证.

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