设函数 y=f(x),x∈D.记 f(f(f⋯f(x)))⏟n 个 f=fn(x),n∈N,n⩾1.对于 D 的非空子集 A,若对任意 x∈A,都有 f(x)∈A,则称函数 y=f(x) 在集合 A 上封闭.
(1)若 g(x)=2x,h(x)=2−x,A=[0,1],分别判断函数 y=g(x) 和 y=h(x) 是否在集合 A 上封闭;
(2)设 f(x)=x2,x∈R,区间 B=[a,b](其中 a<b),若函数 y=f(x) 在集合 B 上封闭,求 b−a 的最大值;
(3)设 k∈N,k⩾1,若函数 y=f(x) 的定义域为 R,函数 y=f(x) 和 y=fk(x) 的图象都是连续的曲线,且函数 y=fk(x) 在区间 I=[a,b](其中 a<b)上封闭,证明:存在 x0∈R,使得 f(x0)=x0.
解析
(1)由于 g(1)=2,而 1∈A,2∉A,因此函数 y=g(x) 不在集合 A 上封闭; 由于 {2−x∣x∈A}=[12,1]⫅A,因此函数 y=h(x) 在集合 A 上封闭.
(2)根据题意,有{f(a)⩽b,f(b)⩽b,⟹{a2⩽b,b2⩽b,⟹{0⩽b⩽1,a2⩽1,因此 b−a⩽2,且当 (a,b)=(−1,1) 时取得,等号,因此 b−a 的最大值为 2.
(3)用反证法,若不存在 x0∈R,使得 f(x0)=x0,则以下二式中必然有一个成立:∀x∈I,f(x)>x,以及∀x∈I,f(x)<x,此时fk(b)>fk−1(b)>⋯>f(b)>b,以及fk(a)<fk−1(a)<⋯<f(a)<a,中必然有一个成立,这与函数 y=fk(x) 在区间 I=[a,b] 上封闭矛盾,因此命题得证.