每日一题[3552]伪装高次不等式

2024年浙江杭州高三一模数学试题 #8

已知 $\forall x\in[1,+\infty)$，不等式 $\left(\ln^2 (ax)-1\right)\left(\mathrm e^x-b\right)\geqslant 0$ 恒成立，则（       ）

A．若 $a\in\left(0,\dfrac 1 {\mathrm e}\right)$，则 $b\leqslant\mathrm e$

B．若 $a\in\left(0,\dfrac 1 {\mathrm e}\right)$，则 $b>\mathrm e$

C．若 $a\in\left[\dfrac 1 {\mathrm e},\mathrm e\right)$，则 $a^b=\mathrm e^e$

D．若 $a\in\left[\dfrac 1 {\mathrm e},\mathrm e\right)$，则 $b^a=\mathrm e^\mathrm e$

答案    D．

解析    观察选项，只需要考虑 $a>0$ 的情形，则

$$\ln^2 (ax)-1=0\iff x=\dfrac{\mathrm e}a~\text{或}~x=\dfrac{1}{a\mathrm e},$$ 因此函数 $f(x)$ 在 $x\in[1,+\infty)$ 上没有零点，或者有一个不变号零点． 若函数 $f(x)$ 在 $x\in[1,+\infty)$ 上没有零点，则 $$\begin{cases} \dfrac{\mathrm e}a<1,\\ \mathrm e-b>0\end{cases}\iff \begin{cases} a>\mathrm e,\\ b<\mathrm e,\end{cases}$$ 若函数 $f(x)$ 在 $x\in[1,+\infty)$ 上有一个不变号零点，则 $$\dfrac{1}{a\mathrm e}<1\leqslant \dfrac{\mathrm e}a=\ln b\iff \begin{cases} \dfrac{1}{\mathrm e}< a\leqslant \mathrm e,\\ b^a=\mathrm e^\mathrm e.\end{cases}$$ 综上所述，参数 $a,b$ 满足的条件为 $b<\mathrm e<a$ 或 $\dfrac{1}{\mathrm e}< a=\dfrac{\mathrm e}{\ln b}\leqslant \mathrm e$，只有选项 $\boxed{D}$ 正确．