每日一题[3546]“距离”公式

2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#26

已知直线 $l: a x+b y+c=0$，$P\left(x_1,y_1\right)$，$Q\left(x_2,y_2\right)$，$\lambda=\dfrac{a x_1+b y_1+c}{a x_2+b y_2+c}$，下列选项中正确的有（       ）

A．若 $\lambda>1$，则 $l$ 与射线 $PQ$ 相交

B．若 $\lambda=1$，则 $l$ 与射线 $PQ$ 平行

C．若 $\lambda=-1$，则 $l$ 与射线 $PQ$ 垂直

D．若 $\lambda$ 存在，则点 $Q$ 在 $l$ 上

答案    AB．

解析    直线 $l$ 的法向量为 $\overrightarrow n=(a,b)$，设 $A(x_0,y_0)$ 为直线 $l$ 上任意一点，则 $c=-ax_0-by_0$，从而

$$\lambda=\dfrac{a(x_1-x_0)+b(y_1-y_0)}{a(x_2-x_0)+b(y_2-y_0)}=\dfrac{\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow n}{\overrightarrow{AQ}\cdot \overrightarrow n},$$ 因此 $\lambda$ 为 $\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AQ}$ 在 $\overrightarrow n$ 上的投影数量之比．

当 $\lambda>0$ 时，点 $P,Q$ 位于直线 $l$ 同侧，特别的，当 $\lambda=1$ 时，$PQ\parallel l$；

当 $\lambda=0$ 时，点 $P$ 在直线 $l$ 上；

当 $\lambda<0$ 时，点 $P,Q$ 位于直线 $l$ 异侧，特别的，当 $\lambda=-1$ 时，$PQ$ 被直线 $l$ 平分；

当 $\lambda$ 不存在时，点 $Q$ 在直线 $l$ 上．

综上所述，选项 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ 正确．