2024年清华大学强基计划数学试题(回忆版)#19
已知 f(x) 是 [0,1] 上的连续函数,m,n∈N∗,An=n∑k=1|f(kn)−f(k−1n)|,则( )
A.A2n⩾
B.A_{n+m}\geqslant A_n
C.A_{n+m}\geqslant 2A_n
D.A_{n+\infty}\geqslant 2A_n
答案 A.
解析 若 f(x) 为 [0,1] 上的单调递增,则A_n=\sum_{k=1}^n\left(f\left(\dfrac{k}{n}\right)-f\left(\dfrac{k-1}{n}\right)\right)=f(1)-f(0),为定值,因此选项 \boxed{C} \boxed{D} 错误; 根据绝对值不等式,有\left|f\left(\dfrac{k-2}{2 n}\right)-f\left(\dfrac{k-1}{2 n}\right)\right|+\left|f\left(\dfrac{k-1}{2 n}\right)-f\left(\dfrac k{2 n}\right)\right|\geqslant\left|f\left(\dfrac{k-1}n\right)-f\left(\dfrac k n\right)\right|,两边求和即得选项 \boxed{A} 正确; 取 f(x)=\begin{cases} x,&x\in\left[0,\dfrac 12\right],\\ 1-x,&x\in\left(\dfrac 12,1\right],\end{cases} 则A_2=1,\quad A_3=\dfrac 23,选项 \boxed{B} 错误.
综上所述,正确的选项只有 \boxed{A}.