每日一题[3539]分点统一

2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#19

已知 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数，$m, n \in\mathbb N^{\ast}$，$A_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\left|f\left(\dfrac{k}{n}\right)-f\left(\dfrac{k-1}{n}\right)\right|$，则（       ）

A．$A_{2n}\geqslant A_n$

B．$A_{n+m}\geqslant A_n$

C．$A_{n+m}\geqslant 2A_n$

D．$A_{n+\infty}\geqslant 2A_n$

答案    A．

解析    若 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的单调递增，则

$$A_n=\sum_{k=1}^n\left(f\left(\dfrac{k}{n}\right)-f\left(\dfrac{k-1}{n}\right)\right)=f(1)-f(0),$$ 为定值，因此选项 $\boxed{C}$ $\boxed{D}$ 错误； 根据绝对值不等式，有 $$\left|f\left(\dfrac{k-2}{2 n}\right)-f\left(\dfrac{k-1}{2 n}\right)\right|+\left|f\left(\dfrac{k-1}{2 n}\right)-f\left(\dfrac k{2 n}\right)\right|\geqslant\left|f\left(\dfrac{k-1}n\right)-f\left(\dfrac k n\right)\right|,$$ 两边求和即得选项 $\boxed{A}$ 正确； 取 $f(x)=\begin{cases} x,&x\in\left[0,\dfrac 12\right],\\ 1-x,&x\in\left(\dfrac 12,1\right],\end{cases}$ 则 $$A_2=1,\quad A_3=\dfrac 23,$$ 选项 $\boxed{B}$ 错误．

综上所述，正确的选项只有 $\boxed{A}$．