每日一题[3525]消灭根号

2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#5

已知 $a,b,c\geqslant 0$，$f(a, b, c)=\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}$，则（       ）

A．$f(a,b,c)$ 的最大值为 $\dfrac{3}{\sqrt 2}$

B．$f(a,b,c)$ 的最小值为 $2$

C．$f(a,b,c)$ 没有最大值

D．$f(a,b,c)$ 没有最小值

答案    BC．

解析    当 $a,b\to 0$，$c=1$ 时，有 $f(a,b,c)\to +\infty$，于是 $f(a,b,c)$ 没有最大值．不妨设 $a\geqslant b\geqslant c$．

情形一     $c=0$．此时

$$f(a,b,c)=\sqrt{\dfrac ab}+\sqrt{\dfrac ba}\geqslant 2,$$ 等号当 $a=b$ 且 $b>0$ 时取得，因此 $m$ 的最小值为 $2$．

情形二     $c>0$．此时

$$\begin{split} f(a,b,c)&=\dfrac{a}{\sqrt{a(b+c)}}+\dfrac{b}{\sqrt{b(c+a)}}+\dfrac c{\sqrt{c(a+b)}}\\ &\geqslant \dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{2b}{b+c+a}+\dfrac{2c}{c+a+b}\\ &=2,\end{split}$$ 且等号无法取得．

综上所述，$f(a,b,c)$ 没有最大值，最小值为 $2$．