2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#4
已知过拋物线 $C: x^2=4 y$ 的焦点 $F$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点，直线 $l_1$ 是抛物线在点 $A$ 处的切线，过 $B$ 作直线 $l_1$ 的平行线 $l_2$ 交 $C$ 于点 $D$，交 $y$ 轴于点 $E$．设 $A\left(x_1, y_1\right)$，$B\left(x_2, y_2\right)$，$D\left(x_3, y_3\right)$，则（ ）
A．$x_2+x_3=2 x_1$
B．$|FB|=|FE|$
C．$y_1 y_2=1$
D．$\triangle ABD$ 面积的最小值为 $16$
答案 ABCD．
解析 对于选项 $\boxed{A}$，由于直线 $l_1,l_2$ 平行，因此与抛物线方程联立后所得二次方程只有常数项不同，从而根据韦达定理有\[x_2+x_3=2x_1,\tag{1}\]选项正确．
对于选项 $\boxed{B}$，过 $A$ 作 $Oy$ 方向的射线 $AT$，设直线 $l_1$ 与 $y$ 轴交于点 $G$，则根据抛物线的光学性质，有\[\angle DAT=\angle FAG,\]而直线 $BE$ 与直线 $l_1$ 平行，从而\[\angle FBE=\angle FAG,\quad \angle FEB=\angle FGA,\]从而 $\triangle FBE$ 为等腰三角形，$|FB|=|FE|$，选项正确．
对于选项 $\boxed{C}$，根据抛物线的平均性质，有 $y_1y_2=1$，选项正确．
对于选项 $\boxed{D}$，根据三角形面积坐标公式，有\[ \overline{[\triangle ABD]}=\dfrac 12\begin{vmatrix}1&1&1\\ x_1&x_2&x_3\\ y_1&y_2&y_3\\ \end{vmatrix}=\dfrac 18\begin{vmatrix}1&1&1\\ x_1&x_2&x_3\\ x_1^2&x_2^2&x_3^3\\ \end{vmatrix}=\dfrac18(x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_3-x_1),\]将 $(1)$ 代入，有\[[\triangle ABD]=\dfrac14|x_1-x_2|^3,\]根据抛物线的平均性质，有 $y_1y_2=1$，即 $x_1x_2=-4$，因此\[[\triangle ABD]=\dfrac 14\left|x_1+\dfrac 4{x_1}\right|^3\geqslant \dfrac 14\cdot 4^3=16,\]选项正确．
综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．