每日一题[3524]抛物线的方方面面

2024年清华大学强基计划数学试题(回忆版)#4

已知过拋物线 C:x2=4y 的焦点 F 的直线 lCA,B 两点,直线 l1 是抛物线在点 A 处的切线,过 B 作直线 l1 的平行线 l2C 于点 D,交 y 轴于点 E.设 A(x1,y1)B(x2,y2)D(x3,y3),则(       )

A.x2+x3=2x1

B.|FB|=|FE|

C.y1y2=1

D.ABD 面积的最小值为 16

答案    ABCD.

解析    对于选项 A,由于直线 l1,l2 平行,因此与抛物线方程联立后所得二次方程只有常数项不同,从而根据韦达定理有x2+x3=2x1,选项正确.

对于选项 B,过 AOy 方向的射线 AT,设直线 l1y 轴交于点 G,则根据抛物线的光学性质,有DAT=FAG,而直线 BE 与直线 l1 平行,从而FBE=FAG,FEB=FGA,从而 FBE 为等腰三角形,|FB|=|FE|,选项正确.

对于选项 C,根据抛物线的平均性质,有 y1y2=1,选项正确.

对于选项 D,根据三角形面积坐标公式,有¯[ABD]=12|111x1x2x3y1y2y3|=18|111x1x2x3x21x22x33|=18(x1x2)(x2x3)(x3x1),(1) 代入,有[ABD]=14|x1x2|3,根据抛物线的平均性质,有 y1y2=1,即 x1x2=4,因此[ABD]=14|x1+4x1|31443=16,选项正确.

综上所述,正确的选项为 A B C D

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