2024年清华大学强基计划数学试题(回忆版)#4
已知过拋物线 C:x2=4y 的焦点 F 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,直线 l1 是抛物线在点 A 处的切线,过 B 作直线 l1 的平行线 l2 交 C 于点 D,交 y 轴于点 E.设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),则( )
A.x2+x3=2x1
B.|FB|=|FE|
C.y1y2=1
D.△ABD 面积的最小值为 16
答案 ABCD.
解析 对于选项 A,由于直线 l1,l2 平行,因此与抛物线方程联立后所得二次方程只有常数项不同,从而根据韦达定理有x2+x3=2x1,选项正确.
对于选项 B,过 A 作 Oy 方向的射线 AT,设直线 l1 与 y 轴交于点 G,则根据抛物线的光学性质,有∠DAT=∠FAG,而直线 BE 与直线 l1 平行,从而∠FBE=∠FAG,∠FEB=∠FGA,从而 △FBE 为等腰三角形,|FB|=|FE|,选项正确.
对于选项 C,根据抛物线的平均性质,有 y1y2=1,选项正确.
对于选项 D,根据三角形面积坐标公式,有¯[△ABD]=12|111x1x2x3y1y2y3|=18|111x1x2x3x21x22x33|=18(x1−x2)(x2−x3)(x3−x1),将 (1) 代入,有[△ABD]=14|x1−x2|3,根据抛物线的平均性质,有 y1y2=1,即 x1x2=−4,因此[△ABD]=14|x1+4x1|3⩾14⋅43=16,选项正确.
综上所述,正确的选项为 A B C D.