每日一题[3524]抛物线的方方面面

2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#4

已知过拋物线 $C: x^2=4 y$ 的焦点 $F$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点，直线 $l_1$ 是抛物线在点 $A$ 处的切线，过 $B$ 作直线 $l_1$ 的平行线 $l_2$ 交 $C$ 于点 $D$，交 $y$ 轴于点 $E$．设 $A\left(x_1, y_1\right)$，$B\left(x_2, y_2\right)$，$D\left(x_3, y_3\right)$，则（       ）

A．$x_2+x_3=2 x_1$

B．$|FB|=|FE|$

C．$y_1 y_2=1$

D．$\triangle ABD$ 面积的最小值为 $16$

答案    ABCD．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，由于直线 $l_1,l_2$ 平行，因此与抛物线方程联立后所得二次方程只有常数项不同，从而根据韦达定理有

$$x_2+x_3=2x_1,\tag{1}$$ 选项正确．

对于选项 $\boxed{B}$，过 $A$ 作 $Oy$ 方向的射线 $AT$，设直线 $l_1$ 与 $y$ 轴交于点 $G$，则根据抛物线的光学性质，有

$$\angle DAT=\angle FAG,$$ 而直线 $BE$ 与直线 $l_1$ 平行，从而 $$\angle FBE=\angle FAG,\quad \angle FEB=\angle FGA,$$ 从而 $\triangle FBE$ 为等腰三角形，$|FB|=|FE|$，选项正确．

对于选项 $\boxed{C}$，根据抛物线的平均性质，有 $y_1y_2=1$，选项正确．

对于选项 $\boxed{D}$，根据三角形面积坐标公式，有

$$\overline{[\triangle ABD]}=\dfrac 12\begin{vmatrix}1&1&1\\ x_1&x_2&x_3\\ y_1&y_2&y_3\\ \end{vmatrix}=\dfrac 18\begin{vmatrix}1&1&1\\ x_1&x_2&x_3\\ x_1^2&x_2^2&x_3^3\\ \end{vmatrix}=\dfrac18(x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_3-x_1),$$ 将 $(1)$ 代入，有 $$[\triangle ABD]=\dfrac14|x_1-x_2|^3,$$ 根据抛物线的平均性质，有 $y_1y_2=1$，即 $x_1x_2=-4$，因此 $$[\triangle ABD]=\dfrac 14\left|x_1+\dfrac 4{x_1}\right|^3\geqslant \dfrac 14\cdot 4^3=16,$$ 选项正确．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．