每日一题[3521]分类计数

2024年清华大学强基计划数学试题(回忆版)#1

在平面直角坐标系 xOy 中,A(2,1),点 M{(x,y)x2200+y28,则满足 \triangle O A M 的面积不大于 3 的整点 M 的个数为(       )

A.65

B.80

C.125

D.154

答案    A.

解析    设 M(x_0,y_0),则 \triangle OAM 的面积S\leqslant 3\iff \dfrac 12|x_0-2y_0|\leqslant 3\iff |x_0-2y_0|\leqslant 6 ,由于 M 在椭圆内,y_0 的所有可能值为 0,\pm 1,\pm 2,设 x_0=2y_0+m,其中 |m|\leqslant 6,则m^2+4my_0\leqslant 200-29y_0^2,y_0 的取值讨论如下: \begin{array}{c|c|c|c}\hline y_0&\text{限制条件}&m~\text{的可能取值}&\text{计数}\\ \hline 0&m^2\leqslant 200&-6\to 6&13\\ \hline 1&m^2+4m\leqslant 171&-6\to 6&13\\ \hline 2&m^2+8m\leqslant 84&-6\to 6&13\\ \hline \end{array}根据对称性,y_0=-1,-2 时的计数分别与 y_0=1,2 时相同,因此所求个数为13+(13+13)\cdot 2=65.

备注    事实上,如果先计算 $y_0=2$ 的情形,则 $y_0=0,1$ 情形下的计数立即可得.

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每日一题[3521]分类计数》有一条回应

  1. sunnyrubik说:

    请问不需要排除O,A,M三点共线无法构成三角形的情形吗?

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