每日一题[3521]分类计数

2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#1

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$A(2,1)$，点 $M \in\left\{(x, y) \mid \dfrac{x^2}{200}+\dfrac{y^2}{8} \leqslant 1\right\}$，则满足 $\triangle O A M$ 的面积不大于 $3$ 的整点 $M$ 的个数为（       ）

A．$65$

B．$80$

C．$125$

D．$154$

答案    A．

解析    设 $M(x_0,y_0)$，则 $\triangle OAM$ 的面积

$$S\leqslant 3\iff \dfrac 12|x_0-2y_0|\leqslant 3\iff |x_0-2y_0|\leqslant 6 ,$$ 由于 $M$ 在椭圆内，$y_0$ 的所有可能值为 $0,\pm 1,\pm 2$，设 $x_0=2y_0+m$，其中 $|m|\leqslant 6$，则 $$m^2+4my_0\leqslant 200-29y_0^2,$$ 按 $y_0$ 的取值讨论如下： $$\begin{array}{c|c|c|c}\hline y_0&\text{限制条件}&m~\text{的可能取值}&\text{计数}\\ \hline 0&m^2\leqslant 200&-6\to 6&13\\ \hline 1&m^2+4m\leqslant 171&-6\to 6&13\\ \hline 2&m^2+8m\leqslant 84&-6\to 6&13\\ \hline \end{array}$$ 根据对称性，$y_0=-1,-2$ 时的计数分别与 $y_0=1,2$ 时相同，因此所求个数为 $$13+(13+13)\cdot 2=65.$$

备注    事实上，如果先计算 $y_0=2$ 的情形，则 $y_0=0,1$ 情形下的计数立即可得．