每日一题[3519]消元配凑

2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#19

在 $\triangle A B C$ 中，当 $m=\sin A+2\sin B+2\sin C$ 取得最大值时，有（       ）

A．$\sin A=\sqrt 3-1$

B．$\cos A=\sqrt 3-1$

C．$\tan A=\sqrt 3-1$

D．以上答案都不对

答案    B．

解析    根据题意，有

$$\begin{split} m&=\sin A+4\sin\dfrac{B+C}2\cos\dfrac{B-C}2\\ &\leqslant \sin A+4\cos \dfrac A2\\ &=2\cos\dfrac A2\left(\sin\dfrac A2+2\right)\\ &=2\sqrt{(1-t)(1+t)(2+t)^2}\\ &=2\sqrt{((\lambda+2)-(\lambda+2)t)(\lambda+\lambda t)(2+t)(2+t)}\\ &\leqslant 2\left(\dfrac{6+2\lambda}4\right)^2,\end{split}$$ 其中 $t=\sin\dfrac A2$（$t\in (0,1)$），取等条件为 $$(\lambda+2)-(\lambda+2)t=\lambda+\lambda t=2+t,$$ 即 $\lambda=\sqrt 3$，$t=\dfrac{\sqrt 3-1}2$，进而 $$\cos A=1-2\sin^2\dfrac A2=\sqrt 3-1.$$