2024年北京大学强基计划数学试题(回忆版)#13
在 △ABC 中,则 f=cosAcosBcosC ( )
A.有最小值,没有最大值
B.既有最小值也有最大值
C.没有最小值,没有最大值
D.以上答案都不对
答案 D.
解析 由于 |f|⩽1 且当 (A,B,C)→(0,0,π) 时,有 f→−1,因此 −1 是 f 的下确界,因此 f 没有最小值.而cosBcosC=12(cos(B+C)+cos(B−C))⩽12(1−cosA),等号当 B=C 时取得,从而f=cosAcosBcosC⩽cosA⋅12(1−cosA)⩽18,等号当 B=C 且 cosA=12 时,也即 A=B=C=π3 时取得,因此 f 有最大值 18.