每日一题[3513]冻结变量

2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#13

在 $\triangle A B C$ 中，则 $f=\cos A \cos B \cos C$ （       ）

A．有最小值，没有最大值

B．既有最小值也有最大值

C．没有最小值，没有最大值

D．以上答案都不对

答案    D．

解析    由于 $|f|\leqslant 1$ 且当 $(A,B,C)\to (0,0,\pi)$ 时，有 $f\to -1$，因此 $-1$ 是 $f$ 的下确界，因此 $f$ 没有最小值．而

$$\cos B\cos C=\dfrac 12(\cos (B+C)+\cos(B-C))\leqslant \dfrac 12(1-\cos A),$$ 等号当 $B=C$ 时取得，从而 $$f=\cos A \cos B \cos C\leqslant \cos A\cdot \dfrac 12(1-\cos A)\leqslant \dfrac 18,$$ 等号当 $B=C$ 且 $\cos A=\dfrac 12$ 时，也即 $A=B=C=\dfrac{\pi}3$ 时取得，因此 $f$ 有最大值 $\dfrac 18$．