2024年北京大学强基计划数学试题(回忆版)#7
关于 x 的方程 x(ex4−1−1)+(ex−1)(x4−1)=0 在 R 上的解的个数为( )
A.1
B.3
C.5
D.以上答案都不对
答案 B.
解析 当 x(x4−1)=0 即 x=0,±1 时,方程成立; 当 x(x4−1)≠0 时,题中方程即ex4−1−1x4−1+ex−1x=0⟺f(x4−1)+f(x)=0,而 f(x)>0,此时方程无解. 综上所述,所求解的个数为 3.
备注 若题中方程改为 x(ex4−1−1)−(ex−1)(x4−1)=0,则考虑到 f(x) 在 R 上单调递增,于是方程即f(x4−1)−f(x)=0⟺x4−1=x⟺x4−x−1=0,设 g(x)=x4−x−1,则其导函数 g′(x)=4x3−1 只有 1 个零点,于是 g(x) 至多 2 个零点,又 g(−1)>0,g(1)<0,g(2)>0,于是 g(x) 有 2 个零点,从而该方程有 5 个零点.