每日一题[3507]同构函数

2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#7

关于 $x$ 的方程 $x\left(\mathrm e^{x^4-1}-1\right)+\left(\mathrm e^x-1\right)\left(x^4-1\right)=0$ 在 $\mathbb R$ 上的解的个数为（       ）

A．$1$

B．$3$

C．$5$

D．以上答案都不对

答案    B．

解析    当 $x(x^4-1)=0$ 即 $x=0,\pm 1$ 时，方程成立； 当 $x(x^4-1)\ne 0$ 时，题中方程即

$$\dfrac{\mathrm e^{x^4-1}-1}{x^4-1}+\dfrac{\mathrm e^x-1}{x}=0\iff f(x^4-1)+f(x)=0,$$ 而 $f(x)>0$，此时方程无解． 综上所述，所求解的个数为 $3$．

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备注    若题中方程改为 $x\left(\mathrm e^{x^4-1}-1\right)-\left(\mathrm e^x-1\right)\left(x^4-1\right)=0$，则考虑到 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增，于是方程即

$$f(x^4-1)-f(x)=0\iff x^4-1=x\iff x^4-x-1=0,$$ 设 $g(x)=x^4-x-1$，则其导函数 $g'(x)=4x^3-1$ 只有 $1$ 个零点，于是 $g(x)$ 至多 $2$ 个零点，又 $g(-1)>0$，$g(1)<0$，$g(2)>0$，于是 $g(x)$ 有 $2$ 个零点，从而该方程有 $5$ 个零点．