每日一题[3507]同构函数

2024年北京大学强基计划数学试题(回忆版)#7

关于 x 的方程 x(ex411)+(ex1)(x41)=0R 上的解的个数为(       )

A.1

B.3

C.5

D.以上答案都不对

答案    B.

解析    当 x(x41)=0x=0,±1 时,方程成立; 当 x(x41)0 时,题中方程即ex411x41+ex1x=0f(x41)+f(x)=0,f(x)>0,此时方程无解. 综上所述,所求解的个数为 3


备注    若题中方程改为 x(ex411)(ex1)(x41)=0,则考虑到 f(x)R 上单调递增,于是方程即f(x41)f(x)=0x41=xx4x1=0,g(x)=x4x1,则其导函数 g(x)=4x31 只有 1 个零点,于是 g(x) 至多 2 个零点,又 g(1)>0g(1)<0g(2)>0,于是 g(x)2 个零点,从而该方程有 5 个零点.

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