2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#1
2024∑i=1[19i20] 模 7 的余数为（ ）
A．1
B．3
C．5
D．以上答案都不对
答案 A．
解析 由于 19i≡(−1)i(mod20)，于是[19i20]={19i20−1920,i 为奇数,19i20−120,i 为偶数,于是2024∑i=1[19i20]=−1012+2024∑i=119i20=−1012+1920⋅192024−118, 由于 192−1=20⋅18，且根据费马小定理，有 196≡1(mod7)，于是20⋅18⋅7∣192022−1,从而2024∑i=1[19i20]≡−1012+19⋅192024−192+(192−1)20⋅18(mod7)=−1012+19⋅192(192022−1)+(192−1)20⋅18(mod7)=3+(−2)⋅1(mod7)=1.