每日一题[3498]双纽线

2024年12月辽宁省名校联盟高三数学试卷 #11

已知曲线 $C$ 是到点 $F_1(-a,0)$ 和 $F_2(a, 0)$ 的距离之积为定值 $a^2$ 点的轨迹（称为双纽线），则（       ）

A．若 $a=1$，点 $(\sqrt{2}, 0)$ 在曲线 $C$ 上

B．若 $a=1$，曲线 $C$ 的方程为 $\left(x^2+y^2\right)^2=2 x^2-y^2$

C．若 $a=2$，曲线 $C$ 上点的纵坐标的最大值为 $1$

D．若点 $\left(x_0, y_0\right)$ 在 $C$ 上，则 $\left|y_0\right| \leqslant\left|x_0\right|$

答案     ACD．

解析    曲线 $C$ 的方程为 $$\sqrt{(x+a)^2+y^2}\cdot \sqrt{(x-a)^2+y^2}=a^2,$$ 即 $$(x^2+y^2)^2+2a^2(y^2-x^2)=0,$$ 记为 $f(x,y)=0$．

对于选项 $\boxed{A}$，当 $a=1$ 时，有 $f\left(\sqrt 2,0\right)=0$，选项正确；

对于选项 $\boxed{B}$，当 $a=1$ 时，曲线方程为 $$(x^2+y^2)^2+2(y^2-x^2)=0,$$ 选项错误；

对于选项 $\boxed{C}$，当 $a=2$ 时，曲线方程为 $$(x^2+y^2)^2+8(y^2-x^2)=0\iff y^2=4\sqrt{1+x^2}-(4+x^2),$$ 整理可得 $$y^2=1-\left(2-\sqrt{1+x^2}\right)^2,$$ 因此曲线 $C$ 上点的纵坐标的最大值为 $1$（此时对应点的坐标为 $\left(\pm\sqrt 3,1\right)$）．

对于选项 $\boxed{D}$，若点 $\left(x_0, y_0\right)$ 在 $C$ 上，则 $$2a^2(x_0^2-y_0^2)=(x_0^2+y_0^2)^2\geqslant 0,$$ 于是 $|x_0|\geqslant |y_0|$，选项正确．

综上所述，正确的选项是 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．