每日一题[3492]椭圆的蒙日圆

2024年5月湖北省武汉市调研试卷#10

在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:x24+y2=1,圆 O:x2+y2=5P 为圆 O 上任意一点,Q 为椭圆 C 上任意一点.过 P 作椭圆 C 的两条切线 l1,l2,当 l1,l2 与坐标轴不垂直时,记两切线斜率分别为 k1,k2,则(       )

A.椭圆 C 的离心率为 32

B.|PQ| 的最小值为 1

C.|PQ| 的最大值为 5+2

D.k21+k223

答案    AC.

解析    对于选项 A,椭圆 C 的离心率 e=114=32,选项正确;

对于选项 B C,由于 |OQ| 的取值范围是 [1,2],圆 O 的半径为 5,因此 |PQ| 的最小值为 51,最大值为 5+2,选项 B 错误,选项 C 正确;

对于选项 D,根据椭圆的蒙日圆性质,有 k1k2=1,于是k21+k222|k1k2|=2,k1+k2=0(k1,k2)=(1,1) 时可以取得等候,因此选项 D 错误.

综上所述,正确的选项为 A C

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