2024年5月湖北省武汉市调研试卷#10
在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:x24+y2=1,圆 O:x2+y2=5,P 为圆 O 上任意一点,Q 为椭圆 C 上任意一点.过 P 作椭圆 C 的两条切线 l1,l2,当 l1,l2 与坐标轴不垂直时,记两切线斜率分别为 k1,k2,则( )
A.椭圆 C 的离心率为 √32
B.|PQ| 的最小值为 1
C.|PQ| 的最大值为 √5+2
D.k21+k22⩾3
答案 AC.
解析 对于选项 A,椭圆 C 的离心率 e=√1−14=√32,选项正确;
对于选项 B C,由于 |OQ| 的取值范围是 [1,2],圆 O 的半径为 √5,因此 |PQ| 的最小值为 √5−1,最大值为 √5+2,选项 B 错误,选项 C 正确;
对于选项 D,根据椭圆的蒙日圆性质,有 k1k2=−1,于是k21+k22⩾2|k1k2|=2,当 k1+k2=0 即 (k1,k2)=(1,−1) 时可以取得等候,因此选项 D 错误.
综上所述,正确的选项为 A C.