每日一题[3492]椭圆的蒙日圆

2024年5月湖北省武汉市调研试卷#10

在平面直角坐标系 $x Oy$ 中，椭圆 $C:\dfrac{x^2}4+y^2=1$，圆 $O: x^2+y^2=5$，$P$ 为圆 $O$ 上任意一点，$Q$ 为椭圆 $C$ 上任意一点．过 $P$ 作椭圆 $C$ 的两条切线 $l_1,l_2$，当 $l_1,l_2$ 与坐标轴不垂直时，记两切线斜率分别为 $k_1,k_2$，则（       ）

A．椭圆 $C$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$

B．$|PQ|$ 的最小值为 $1$

C．$|PQ|$ 的最大值为 $\sqrt 5+2$

D．$k_1^2+k_2^2\geqslant 3$

答案    AC．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，椭圆 $C$ 的离心率 $e=\sqrt{1-\dfrac 14}=\dfrac{\sqrt 3}2$，选项正确；

对于选项 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$，由于 $|OQ|$ 的取值范围是 $[1,2]$，圆 $O$ 的半径为 $\sqrt 5$，因此 $|PQ|$ 的最小值为 $\sqrt 5-1$，最大值为 $\sqrt 5+2$，选项 $\boxed{B}$ 错误，选项 $\boxed{C}$ 正确；

对于选项 $\boxed{D}$，根据椭圆的蒙日圆性质，有 $k_1k_2=-1$，于是

$$k_1^2+k_2^2\geqslant 2|k_1k_2|=2,$$ 当 $k_1+k_2=0$ 即 $(k_1,k_2)=(1,-1)$ 时可以取得等候，因此选项 $\boxed{D}$ 错误．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$．