每日一题[3490]独立判定

2024年5月湖北省武汉市调研试卷#7

抛掷一枚质地均匀的硬币 $n$ 次，记 事件 $A$：$n$ 次中既有正面朝上又有反面朝上； 事件 $B$：$n$ 次中至多有一次正面朝上； 下列说法不正确的是（       ）

A．当 $n=2$ 时，$P(AB)=\dfrac 1 2$

B．当 $n=2$ 时，事件 $A$ 与事件 $B$ 不独立

C．当 $n=3$ 时，$P(A+B)=\dfrac 7 8$

D．当 $n=3$ 时，事件 $A$ 与事件 $B$ 不独立

答案    D．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，当 $n=2$ 时，事件 $AB$ 为 $2$ 次抛掷中 $1$ 正 $1$ 反，概率为 $\dbinom 21\left(\dfrac 12\right)\cdot \left(\dfrac 12\right)=\dfrac 12$；

对于选项 $\boxed{B}$，当 $n=2$ 时，$\dfrac{P(AB)}{P(A)}=1>P(B)$，因此事件 $A$ 与事件 $B$ 不独立；

对于选项 $\boxed{C}$，当 $n=3$ 时，事件 $A+B$ 的反面为 $3$ 反，因此概率为 $1-\dfrac 18=\dfrac 78$；

对于选项 $\boxed{D}$，当 $n=3$ 时，有 $$\begin{array}{c|c|c|c|c}\hline \text{抛掷结果}&0~\text{正}~3~\text{反}&1~\text{正}~2~\text{反}&2~\text{正}~1~\text{反}&3~\text{正}~0~\text{反}\\ \hline \text{概率}&\dfrac 18&\dfrac 38&\dfrac 38&\dfrac 18\\ \hline \text{对应事件}&B&A,B&A&\\ \hline\end{array}$$ 因此 $P(A)=\dfrac 68$，$P(B)=\dfrac 12$，$P(AB)=\dfrac 38$，满足事件独立的定义．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{D}$．