每日一题[3487]复数与旋转

2024年山东省实验中学高三二模数学试卷#15

如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边 $AC=10$，$\angle BAC=\dfrac{\pi}3$， $\angle DAC=\dfrac{\pi}4$，$BD$ 交 $AC$ 于点 $E$．

1、求 $BD^2$．

2、求 $AE$．

解析

1、建立平面直角坐标系 $B-CA$，则 $\overrightarrow{AC}$ 对应的复数为 $5\sqrt 3-5\mathrm i$，因此 $\overrightarrow{AD}$ 对应的复数为

$$\left(5\sqrt 3-5\mathrm i\right)\cdot \left(45^\circ:\dfrac{\sqrt 2}2\right)=\dfrac52\left(\sqrt 3+1\right)+\dfrac 52\left(\sqrt 3-1\right)\mathrm i,$$ 因此点 $D$ 的坐标为 $\left(\dfrac52\left(\sqrt 3+1\right),\dfrac52\left(\sqrt 3+1\right)\right)$，因此 $BD^2=25\left(2+\sqrt 3\right)$．

2、根据第 $(1)$ 小题的结果，直线 $BD$ 的斜率为 $1$，设 $E(t,t)$，而 $AC:\dfrac{x}{5\sqrt 3}+\dfrac y5=1$，从而

$$\dfrac{t}{5\sqrt 3}+\dfrac t5=1,$$ 解得 $t=\dfrac {5\sqrt 3}2\left(\sqrt 3-1\right)$，进而 $$AE=\sqrt{t^2+(5-t)^2}=5\left(\sqrt 3-1\right).$$