每日一题[3485]走马观花

2024年山东省实验中学高三二模数学试卷#11

数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$，当 $n\geqslant$ 时，有 $a_n=\begin{cases}a_{n-1},&\dfrac n 4\in\mathbb N^{\ast},\\a_{n-1}+1,&\dfrac n 4\notin\mathbb N^{\ast}.\end{cases}$ $b_m$ 表示 $\left\{a_n\right\}$ 落在区间 $\left[2^m,2^{m+1}\right)$ 的项数，其中 $m\in\mathbb N^{\ast}$，则（      ）

A．$b_3=10$

B．$\dfrac{3 n}4\leqslant a_n\leqslant\dfrac{3 n+3}4$

C．$\displaystyle\sum_{k=1}^{4 n}a_k=6 n^2+3 n$

D．$\displaystyle\sum_{k=1}^{2 n}b_k=\dfrac 4 3\left(4^n-1\right)$

答案   BC．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，根据题意，有

$$a_n:\underbrace{1,2,3,3},\underbrace{4,5,6,6},\underbrace{7,8,9,9},\underbrace{10,11,12,12},\underbrace{13,14,15,15},\underbrace{16,17,18,18},\cdots,$$ 因此 $$b_n:3,5,11,\cdots,$$ 选项错误；

对于选项 $\boxed{B}$，根据题意，有

$$\begin{array}{c|c|c|c|c}\hline n&4m-3&4m-2&4m-1&4m\\ \hline a_n&3m-2&3m-1&3m&3m\\ \hline \dfrac 34n&3m-\dfrac 94&3m-\dfrac 32&3m-\dfrac 34&3m\\ \hline \dfrac {3n+3}4&3m-\dfrac 32&3m-\dfrac 34&3m&3m+\dfrac 34\\ \hline\end{array}$$ 选项正确；

对于选项 $\boxed{C}$，设 $x_n=a_{4n-3}+a_{4n-2}+a_{4n-1}+a_{4n}$，则 $\{x_n\}$ 构成以 $9$ 为首项 $12$ 为公差的等差数列，因此

$$\sum_{k=1}^{4n}a_k=\sum_{k=1}^nx_k=6n^2+3n,$$ 选项正确；

对于选项 $\boxed{D}$，当 $n=1$ 时，$LHS=b_1+b_2=8$，$RHS=4$，选项错误．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$．