每日一题[3483]三角换元

2024年山东省实验中学高三二模数学试卷#8

已知 $A\left(x_1,y_1\right)$，$B\left(x_2,y_2\right)$ 是圆 $x^2+y^2=2$ 上两点．若 $x_1 x_2+y_1 y_2=-1$，则 $x_1+x_2+y_1+y_2$ 的取值范围是（       ）

A．$\left[-\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac{\sqrt 2}2\right]$

B．$[-1,1]$

C．$[-\sqrt 2,\sqrt 2]$

D．$[-2,2]$

答案    D．

解析    设 $x_1=\sqrt 2\cos\alpha$，$y_1=\sqrt 2\sin\alpha$，$x_2=\sqrt 2\cos\beta$，$y_2=\sqrt 2\sin\beta$，则 $$x_1x_2+y_1y_2=-1\implies 2\cos(\alpha-\beta)=-1,$$ 不妨设 $\beta=\alpha+120^\circ$，而 $$\begin{split} x_1+x_2+y_1+y_2&=\sqrt 2(\sin\alpha+\sin\beta+\cos\alpha+\cos\beta)\\ &=2\sin(\alpha+45^\circ)+2\sin(\beta+45^\circ)\\ &=2\sin(\alpha+45^\circ+60^\circ),\end{split}$$ 因此所求取值范围是 $[-2,2]$．