每日一题[3481]对称数列

2024年广东四校高三年级第一次联考#18

如果 $n$ 项有穷数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=a_n$，$a_2=a_{n-1}$，$\cdots$，$a_n=a_1$，即 $a_i=a_{n-i+1}$（$i=1,2,\cdots,n$），则称有穷数列 $\left\{a_n\right\}$ 为"对称数列"．

1、设数列 $\left\{b_n\right\}$ 是项数为 $7$ 的 "对称数列"，其中 $b_1,b_2,b_3,b_4$ 成等差数列，且 $b_2=3$，$b_5=5$，依次写出数列 $\left\{b_n\right\}$ 的每一项；

2、设数列 $\left\{c_n\right\}$ 是项数为 $2 k-1$（$k\in\mathbb N^{\ast}$ 且 $k\geqslant 2$）的 "对称数列"，且满足 $\left|c_{n+1}-c_n\right|=2$，记 $S_n$ 为数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $n$ 项和．

① 若 $c_1,c_2,\cdots,c_k$ 构成单调递增数列，且 $c_k=2023$．当 $k$ 为何值时，$S_{2 k-1}$ 取得最大值？

② 若 $c_1=2024$，且 $S_{2 k-1}=2024$，求 $k$ 的最小值．

解析

1、由数列 $\{b_n\}$ 为对称数列，可得 $$b_n:b_1,b_1+d,b_1+2d,b_1+3d,b_1+2d,b_1+d,b_1,$$ 于是 $$\begin{cases} b_1+d=3,\\ b_1+2d=5,\end{cases}\iff \begin{cases} b_1=1,\\ d=2,\end{cases}$$ 从而 $b_n:1,3,5,7,5,3,1$．

2、根据题意，有 $$S_n=\sum_{i=1}^{2k-1}c_k=\sum_{i=1}^kc_i+\sum_{i=k+1}^{2k-1}c_i=2\sum_{i=1}^kc_i-c_k.$$

① 若 $c_1,c_2,\cdots,c_k$ 构成单调递增数列，这 $k$ 项是末项为 $2023$，公差为 $2$ 的等差数列，其所有项之和即首项为 $2023$，公差为 $-2$ 的 $k$ 项等差数列各项之和，于是 $$S_n=2\sum_{i=1}^ka_i-a_k=2\left(2023k+\dfrac{k(k-1)}2\cdot (-2)\right)-2023=-2k^2+4048k-2023,$$ 因此当 $k=1012$ 时，$S_{2k-1}$ 取得最大值．

② 由 $|c_{n+1}-c_n|=2$，可得 $$2\left(kc_1-k(k-1)\right)-(c_1-2(k-1))\leqslant S_n\leqslant 2(kc_1+k(k-1))-(c_1+2(k-1)),$$ 也即 $$-2k^2+2(c_1+2)k-c_1- 2\leqslant S_n\leqslant 2k^2+2(c_1-2)k-c_1+2,$$ 因此 $$-2k^2+4052k-2026\leqslant 2024\leqslant 2k^2+4044k-2022,$$ 解得 $k\leqslant -2023$（舍去）或 $k=1$（舍去）或 $k\geqslant 2025$，而当 $c_{n+1}-c_n=-2$（$n=1,2,\cdots,k-1$）时等号取得，因此所求 $k$ 的最小值为 $2025$．