每日一题[3478]函数原型

2024年广东四校高三年级第一次联考#13

已知函数 $f(x)=\mathrm e^{2 x-1}-\mathrm e^{1-2 x}+\sin\left(\dfrac{\pi}2 x-\dfrac{\pi}4\right)+1$，则不等式 $f(2 x+1)+f(2-x)\geqslant 2$ 的解集为_______．

答案    $[-2,+\infty)$．

解析    设 $g(x)=f\left(\dfrac {x+1}2\right)-1$，即 $f(x)=g(2x-1)+1$，则

$$g(x)=\mathrm e^x-\mathrm e^{-x}+\sin\dfrac{\pi x}4,$$ 于是 $g(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的奇函数，且 $$g'(x)=\mathrm e^x+\dfrac{1}{\mathrm e^x}+\dfrac{\pi}4\cos\dfrac{\pi x}4\geqslant 2-\dfrac{\pi}4>0,$$ 因此 $g(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的单调递增函数，因此题中不等式即 $$g(4x+1)+1+g(3-2x)+1\geqslant 2\iff g(4x+1)\geqslant g(2x-3)\iff 4x+1\geqslant 2x-3\iff x\geqslant -2.$$