每日一题[3477]卡西尼卵形线

2024年广东四校高三年级第一次联考#11

平面上到两定点的距离之积为常数的动点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知曲线 $C$ 是到两定点 $F_1(-\sqrt 2,0),F_2(\sqrt 2,0)$ 的距离之积为常数 $2$ 的点的轨迹，设 $P(m,n)$ 是曲线 $C$ 上的点，给出下列结论，其中正确的是（       ）

A．曲线 $C$ 关于原点 $O$ 成中心对称

B．$-1\leqslant n\leqslant 1$

C．$\triangle PF_1 F_2$ 的面积不超过 $1$

D．$\triangle PF_1 F_2$ 周长的最小值为 $4\sqrt 2$

答案    ABC．

解析    根据题意，曲线 $C$ 上的点满足 $|PF_1|\cdot |PF_2|=2$，因此方程为

$$\sqrt{\left(x-(-\sqrt 2)\right)^2+y^2}\cdot \sqrt{\left(x-\sqrt 2\right)^2+y^2}=2\iff (x^2-2)^2+2(x^2+2)y^2+y^4=4,$$ 选项 $\boxed{A}$ 正确；

对于选项 $\boxed{B}$，方程可以变形为

$$y^2=\sqrt{8x^2+4}-x^2-2\implies y^2=\dfrac{-(t-4)^2+4}8,$$ 其中 $t=\sqrt{8x^2+4}$，于是曲线 $C$ 上的点的纵坐标的取值范围是 $\left[-\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac{\sqrt 2}2\right]$，选项 $\boxed{B}$ 正确；

根据对选项 $\boxed{B}$ 的分析，$\triangle PF_1F_2$ 的面积

$$[\triangle PF_1F_2]=\dfrac 12\cdot |F_1F_2|\cdot d(P,F_1F_2)\leqslant \dfrac 12\cdot 2\sqrt 2\cdot \dfrac{\sqrt 2}2=1,$$ 选项 $\boxed{C}$ 正确；

根据题意，$\triangle PF_1F_2$ 的周长为

$$|PF_1|+|PF_2|+|F_1F_2|\geqslant 2\sqrt{|PF_1|\cdot |PF_2|}+|F_1F_2|=4\sqrt 2,$$ 等号仅当 $|PF_1|=|PF_2|$ 也即 $y=0$ 时取得，此时 $P$ 点坐标为 $(0,0)$，在直线 $F_1F_2$ 上，因此上述不等式无法取得等号，选项 $\boxed{D}$ 错误．

综上所述，正确的结论是 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{C}$．