每日一题[3474]数列对称

2024年广东四校高三年级第一次联考#6

已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，$a_{2024}=0$ 是 $S_n=S_{4047-n}$（$n<4047$，$n\in\mathbb N^{\ast}$）的（       ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案    C．

解析    对于等差数列，有

$$a_{2024}=0\iff \sum_{k=2024-m}^{2024+m}a_k=0\iff S_{2024+m}-S_{2023-m}=0,$$ 其中 $m$ 为不超过 $2023$ 的任意自然数，取 $m=2023-n$，即得 $S_n=S_{4047-n}$（$n<4047$，$n\in\mathbb N^{\ast}$），因此 $a_{2024}=0$ 是 $S_n=S_{4047-n}$（$n<4047$，$n\in\mathbb N^{\ast}$）的充分必要条件．