每日一题[3472]参数方程

2024年高考上海卷#20

已知双曲线 Γ:x2y2b2=1b>0),A1,A2 为左右顶点,过点 M(2,0) 的直线 l 交双曲线 Γ 于两点 P,Q,且点 P 在第一象限.

1、若双曲线的离心率 e=2,求 b

2、若 b=263MA2P 为等腰三角形,求点 P 的坐标.

3、过点 QOQ 延长线交 Γ 于点 R,若 A1RA2P=1,求 b 的取值范围.

解析

1、题中双曲线的半实轴长 a=1,双曲线的离心率 e=1+b2a2,因此 b=3

2、根据题意,双曲线方程为 x23y28=1M(2,0)A2(1,0),由于 P 在第一象限,因此直线 A2P 的斜率为正数,因此 MA2P 是钝角,从而等腰三角形 MA2P|A2M|=|A2P|,设 P(2m,2n),则 MP 的中点 R(m1,n),有 A2RMP,于是{4m23n22=1,(m2,n)(m+1,n)=0,{m=1,n=2,从而点 P 的坐标为 (2,22)

3、双曲线 Γ 的参数方程为 {x=1cosθ,y=btanθ,P,Q,R 对应参数分别为 2θ1,2θ2,2θ3,其中 2θ1 为锐角,则{tanθ1tanθ2=1(2)1+(2),tanθ2tanθ3=101+0,{tanθ1tanθ2=3,tanθ2tanθ3=1,tanθ2=1t,则 tanθ1=3ttanθ3=t,其中 0<3t<1,于是A1RA2P=1(1cos2θ3+1,btan2θ3)(1cos2θ11,btan2θ1)=1,从而(1+t21t2+1)(1+(3t)21(3t)21)+b22t1t22(3t)1(3t)2=1,也即36t212t2b2=(1t2)(19t2)b2=46(1t2+9t2)12,由于 t2 的取值范围是 (0,19),因此 b2 的取值范围是 (0,3),因此 b 的取值范围是 (0,3)

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