2024年高考上海卷#20
已知双曲线 $\Gamma: x^2-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$b>0$），$A_1,A_2$ 为左右顶点，过点 $M(-2,0)$ 的直线 $l$ 交双曲线 $\Gamma$ 于两点 $P, Q$，且点 $P$ 在第一象限．
1、若双曲线的离心率 $e=2$，求 $b$．
2、若 $b=\dfrac{2\sqrt 6}3$，$\triangle MA_2 P$ 为等腰三角形，求点 $P$ 的坐标．
3、过点 $Q$ 作 $OQ$ 延长线交 $\Gamma$ 于点 $R$，若 $\overrightarrow{A_1 R}\cdot\overrightarrow{A_2 P}=1$，求 $b$ 的取值范围．
解析
1、题中双曲线的半实轴长 $a=1$，双曲线的离心率 $e=\sqrt{1+\dfrac{b^2}{a^2}}$，因此 $b=\sqrt 3$．
2、根据题意，双曲线方程为 $x^2-\dfrac{3y^2}8=1$，$M(-2,0)$，$A_2(1,0)$，由于 $P$ 在第一象限，因此直线 $A_2P$ 的斜率为正数，因此 $\angle MA_2P$ 是钝角，从而等腰三角形 $MA_2P$ 中 $|A_2M|=|A_2P|$，设 $P(2m,2n)$，则 $MP$ 的中点 $R(m-1,n)$，有 $A_2R\perp MP$，于是\[\begin{cases} 4m^2-\dfrac {3n^2}2=1,\\ (m-2,n)\cdot (m+1,n)=0,\end{cases}\iff \begin{cases} m=1,\\ n=\sqrt 2,\end{cases}\]从而点 $P$ 的坐标为 $\left(2,2\sqrt 2\right)$．
3、双曲线 $\Gamma$ 的参数方程为 $\begin{cases} x=\dfrac{1}{\cos\theta},\\ y=b\tan\theta,\end{cases}$ 设 $P,Q,R$ 对应参数分别为 $2\theta_1,2\theta_2,2\theta_3$，其中 $2\theta_1$ 为锐角，则\[\begin{cases} \tan\theta_1\cdot \tan\theta_2=\dfrac{1-(-2)}{1+(-2)},\\ \tan\theta_2\cdot \tan\theta_3=\dfrac{1-0}{1+0},\end{cases}\iff \begin{cases} \tan\theta_1\cdot \tan\theta_2=-3,\\ \tan\theta_2\cdot \tan\theta_3=1,\end{cases}\]设 $\tan\theta_2=\dfrac 1t$，则 $\tan\theta_1=-3t$，$\tan\theta_3=t$，其中 $0<-3t<1$，于是\[ \overrightarrow{A_1 R}\cdot\overrightarrow{A_2 P}=1\iff \left(\dfrac{1}{\cos2\theta_3}+1,b\tan2\theta_3\right)\cdot \left(\dfrac{1}{\cos2\theta_1}-1,b\tan2\theta_1\right)=1,\]从而\[ \left(\dfrac{1+t^2}{1-t^2}+1\right)\left(\dfrac{1+(-3t)^2}{1-(-3t)^2}-1\right)+b^2\cdot \dfrac{2t}{1-t^2}\cdot \dfrac{2\cdot (-3t)}{1-(-3t)^2}=1,\]也即\[ 36t^2-12t^2b^2=(1-t^2)(1-9t^2)\iff b^2=\dfrac{46-\left(\dfrac1{t^2}+9t^2\right)}{12},\]由于 $t^2$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac 19\right)$，因此 $b^2$ 的取值范围是 $(0,3)$，因此 $b$ 的取值范围是 $\left(0,\sqrt 3\right)$．