2024年高考上海卷#20
已知双曲线 Γ:x2−y2b2=1(b>0),A1,A2 为左右顶点,过点 M(−2,0) 的直线 l 交双曲线 Γ 于两点 P,Q,且点 P 在第一象限.
1、若双曲线的离心率 e=2,求 b.
2、若 b=2√63,△MA2P 为等腰三角形,求点 P 的坐标.
3、过点 Q 作 OQ 延长线交 Γ 于点 R,若 →A1R⋅→A2P=1,求 b 的取值范围.
解析
1、题中双曲线的半实轴长 a=1,双曲线的离心率 e=√1+b2a2,因此 b=√3.
2、根据题意,双曲线方程为 x2−3y28=1,M(−2,0),A2(1,0),由于 P 在第一象限,因此直线 A2P 的斜率为正数,因此 ∠MA2P 是钝角,从而等腰三角形 MA2P 中 |A2M|=|A2P|,设 P(2m,2n),则 MP 的中点 R(m−1,n),有 A2R⊥MP,于是{4m2−3n22=1,(m−2,n)⋅(m+1,n)=0,⟺{m=1,n=√2,从而点 P 的坐标为 (2,2√2).
3、双曲线 Γ 的参数方程为 {x=1cosθ,y=btanθ, 设 P,Q,R 对应参数分别为 2θ1,2θ2,2θ3,其中 2θ1 为锐角,则{tanθ1⋅tanθ2=1−(−2)1+(−2),tanθ2⋅tanθ3=1−01+0,⟺{tanθ1⋅tanθ2=−3,tanθ2⋅tanθ3=1,设 tanθ2=1t,则 tanθ1=−3t,tanθ3=t,其中 0<−3t<1,于是→A1R⋅→A2P=1⟺(1cos2θ3+1,btan2θ3)⋅(1cos2θ1−1,btan2θ1)=1,从而(1+t21−t2+1)(1+(−3t)21−(−3t)2−1)+b2⋅2t1−t2⋅2⋅(−3t)1−(−3t)2=1,也即36t2−12t2b2=(1−t2)(1−9t2)⟺b2=46−(1t2+9t2)12,由于 t2 的取值范围是 (0,19),因此 b2 的取值范围是 (0,3),因此 b 的取值范围是 (0,√3).