每日一题[3471]强递增函数

2024年高考上海卷#16

定义集合

$$M=\left\{x_0\mid x_0\in \mathbb R,x\in\left(-\infty,x_0\right),f(x)<f\left(x_0\right)\right\},$$ 在使得 $M=[-1,1]$ 的所有函数 $f(x)$ 中，下列成立的是（       ）

A．存在 $f(x)$ 是偶函数

B．存在 $f(x)$ 在 $x=2$ 处取最大值

C．存在 $f(x)$ 单调递增

D．存在 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处取到极小值

答案    B．

解析    构造符合题意的函数

$$f(x)=\begin{cases} -1,&x\in (-\infty,-1)\\ x+2,&x\in[-1,1],\\ 3,&x\in (1,2],\\ 5-x,&x\in(2,+\infty),\end{cases}$$

则选项 $\boxed{B}$ 正确．

对于选项 $\boxed{A}$，由于 $1\in M$，于是 $f(-1)<f(1)$，$f(x)$ 不可能为偶函数；

对于选项 $\boxed{C}$，若 $f(x)$ 单调递增，则 $-2\in M$，矛盾；

对于选项 $\boxed{D}$，在 $x=-1$ 的左邻域内的任意一点 $x_0$，均有 $f(x_0)<f(-1)$，因此 $f(x)$ 不可能在 $x=-1$ 处取得极小值，选项错误．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{B}$．