每日一题[3469]两面夹击

2024年高考天津卷#20

设函数 f(x)=xlnx

1、求 f(x) 图象上点 (1,f(1)) 处的切线方程;

2、若 f(x)a(xx)x(0,+) 时恒成立,求 a 的取值范围;

3、若 x1,x2(0,1),证明:|f(x1)f(x2)||x1x2|12

解析

1、函数 f(x) 的导函数f(x)=1+lnx,于是 f(1)=0f(1)=1,因此所求切线方程为 y=x1

2、不等式 f(x)a(xx)lnxa(11x)02ln1xa(11x)0,因此题意即x>0, lnxa2(x1)0,g(x)=lnxa2(x1),则g(x)=1xa2,为单调函数,而 g(1)=0,从而 x=1 是函数 f(x) 的最大值点,也为极大值点,因此g(1)=0a=2,经验证,当 a=2 时符合题意,因此 a 的取值范围是 {2}

3、根据题意,函数 f(x) 满足x0(0,1e)1e(1e,1)1f(x)0↘1e↗0 不妨设 x1x2

情形一     f(x1)f(x2).此时LHS=f(x1)f(x2),RHS=x1x2x1x2,只需证明函数 g(x)=f(x)xx(0,1) 上单调递减,而g(x)=(1+lnx)1=lnx,命题成立.

情形二     f(x1)<f(x2).此时LHS=f(x2)f(x1),RHS=x1x2x1x2,只需证明函数 h(x)=f(x)+xx(0,1) 上单调递增,而h(x)=1+lnx+12x=12ln42ln14x+12x14ln22(14x1)+12x=34ln2>3412(212)=0,命题成立,其中用到了 lnx<12(x1x)x>1).

综上所述,原命题得证.

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