2024年高考天津卷#20
设函数 f(x)=xlnx.
1、求 f(x) 图象上点 (1,f(1)) 处的切线方程;
2、若 f(x)⩾a(x−√x) 在 x∈(0,+∞) 时恒成立,求 a 的取值范围;
3、若 x1,x2∈(0,1),证明:|f(x1)−f(x2)|⩽|x1−x2|12.
解析
1、函数 f(x) 的导函数f′(x)=1+lnx,于是 f(1)=0,f′(1)=1,因此所求切线方程为 y=x−1.
2、不等式 f(x)⩾a(x−√x) 即lnx−a(1−1√x)⩾0⟺−2ln1√x−a(1−1√x)⩾0,因此题意即∀x>0, lnx−a2(x−1)⩽0,设 g(x)=lnx−a2(x−1),则g′(x)=1x−a2,为单调函数,而 g(1)=0,从而 x=1 是函数 f(x) 的最大值点,也为极大值点,因此g′(1)=0⟺a=2,经验证,当 a=2 时符合题意,因此 a 的取值范围是 {2}.
3、根据题意,函数 f(x) 满足x0(0,1e)1e(1e,1)1f(x)0−1e
0 不妨设 x1⩾x2.
情形一 f(x1)⩾f(x2).此时LHS=f(x1)−f(x2),RHS=√x1−x2⩾x1−x2,只需证明函数 g(x)=f(x)−x 在 x∈(0,1) 上单调递减,而g′(x)=(1+lnx)−1=lnx,命题成立.
情形二 f(x1)<f(x2).此时LHS=f(x2)−f(x1),RHS=√x1−x2⩾√x1−√x2,只需证明函数 h(x)=f(x)+√x 在 x∈(0,1) 上单调递增,而h′(x)=1+lnx+12√x=1−2ln4−2ln14√x+12√x⩾1−4ln2−2(14√x−1)+12√x=3−4ln2>3−4⋅12(2−12)=0,命题成立,其中用到了 lnx<12(x−1x)(x>1).
综上所述,原命题得证.